Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$

Schritt 1

Setze $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ gleich $0$ .

$3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 12, \pm 4, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}$

Schritt 2.1.3

Setze $- 0.\overline{6}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.\overline{6}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.3.1

Setze $- 0.\overline{6}$ in das Polynom ein.

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Schritt 2.1.3.2

Potenziere $- 0.\overline{6}$ mit $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 0.\overline{296}$ .

$- 0.\overline{8} - 16 {(- 0.\overline{6})}^{2} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Schritt 2.1.3.4

Potenziere $- 0.\overline{6}$ mit $2$ .

$- 0.\overline{8} - 16 \cdot 0.\overline{4} - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{8} - 7.11111111 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Schritt 2.1.3.6

Subtrahiere $7.11111111$ von $- 0.\overline{8}$ .

$- 8 - 30 \cdot - 0.\overline{6} - 12$

Schritt 2.1.3.7

Mutltipliziere $- 30$ mit $- 0.\overline{6}$ .

$- 8 + 20 - 12$

Schritt 2.1.3.8

Addiere $- 8$ und $20$ .

$12 - 12$

Schritt 2.1.3.9

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$0$

Schritt 2.1.4

Da $- 0.\overline{6}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12}{3 x + 2}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ durch $3 x + 2$ .

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Schritt 2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$16 x^{2}$

$30 x$

$12$

Schritt 2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$

Schritt 2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			+	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$

Schritt 2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

Schritt 2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 18 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$

Schritt 2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$12 x$

Schritt 2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 18 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$

Schritt 2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

Schritt 2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 18 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$

Schritt 2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							-	$18 x$	-	$12$

Schritt 2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 18 x - 12$

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$

Schritt 2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$6$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	-	$30 x$	-	$12$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$18 x^{2}$	-	$30 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$18 x$	-	$12$
							+	$18 x$	+	$12$
										$0$

Schritt 2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 6 x - 6$

Schritt 2.1.6

Schreibe $3 x^{3} - 16 x^{2} - 30 x - 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

Schritt 2.3

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} - 6 x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} - 6 x - 6$ gleich $0$ .

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} - 6 x - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = - 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Schritt 2.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.3

Addiere $36$ und $24$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4

Schreibe $60$ als $2^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 2.4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Schritt 2.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

Schritt 2.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 2) (x^{2} - 6 x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{2}{3}, 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

Dezimalform:

$x = - 0.\overline{6}, 6.87298334 \dots, - 0.87298334 \dots$

Schritt 4