Trigonometrie Beispiele

$\frac{4 x - 8}{x - 7} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$4 x - 8 = 0$

$x - 7 = 0$

Schritt 2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 8$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 8$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 8$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $8$ durch $4$ .

$x = 2$

Schritt 4

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 2$

$x = 7$

Schritt 6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 2, 7$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{4 x - 8}{x - 7}$ .

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{4 x - 8}{x - 7}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 7 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 (0) - 8}{(0) - 7} \geq 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $1.\overline{142857}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 (4) - 8}{(4) - 7} \geq 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $- 2.\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 (10) - 8}{(10) - 7} \geq 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $10.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2$ Wahr

$2 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

$x < 2$ Wahr

$2 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 2$ oder $x > 7$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, 2] \cup (7, \infty)$

Schritt 12