Trigonometrie Beispiele

$a = 10$ , $b = 9$ , $c = 7$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(9)}^{2} + {(7)}^{2} - {(10)}^{2}}{2 (9) (7)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{81 + 7^{2} - 10^{2}}{2 (9) \cdot 7})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{81 + 49 - 10^{2}}{2 (9) \cdot 7})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $10$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{81 + 49 - 1 \cdot 100}{2 (9) \cdot 7})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$A = \arccos (\frac{81 + 49 - 100}{2 (9) \cdot 7})$

Schritt 4.1.5

Addiere $81$ und $49$ .

$A = \arccos (\frac{130 - 100}{2 (9) \cdot 7})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $100$ von $130$ .

$A = \arccos (\frac{30}{2 (9) \cdot 7})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$A = \arccos (\frac{30}{18 \cdot 7})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $18$ mit $7$ .

$A = \arccos (\frac{30}{126})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $126$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $6$ aus $30$ heraus.

$A = \arccos (\frac{6 (5)}{126})$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $126$ heraus.

$A = \arccos (\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 21})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \arccos (\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 21})$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \arccos (\frac{5}{21})$

Schritt 4.4

Berechne $\arccos (\frac{5}{21})$ .

$A = 76.225853$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(10)}^{2} + {(7)}^{2} - {(9)}^{2}}{2 (10) (7)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 7^{2} - 9^{2}}{2 (10) \cdot 7})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 49 - 9^{2}}{2 (10) \cdot 7})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 49 - 1 \cdot 81}{2 (10) \cdot 7})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 49 - 81}{2 (10) \cdot 7})$

Schritt 8.1.5

Addiere $100$ und $49$ .

$B = \arccos (\frac{149 - 81}{2 (10) \cdot 7})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $81$ von $149$ .

$B = \arccos (\frac{68}{2 (10) \cdot 7})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$B = \arccos (\frac{68}{20 \cdot 7})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $7$ .

$B = \arccos (\frac{68}{140})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $68$ und $140$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $4$ aus $68$ heraus.

$B = \arccos (\frac{4 (17)}{140})$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $140$ heraus.

$B = \arccos (\frac{4 \cdot 17}{4 \cdot 35})$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{4 \cdot 17}{4 \cdot 35})$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{17}{35})$

Schritt 8.4

Berechne $\arccos (\frac{17}{35})$ .

$B = 60.94071893$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$76.225853 + C + 60.94071893 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $76.225853$ und $60.94071893$ .

$C + 137.16657193 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $137.16657193$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 137.16657193$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $137.16657193$ von $180$ .

$C = 42.83342806$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 76.225853$

$B = 60.94071893$

$C = 42.83342806$

$a = 10$

$b = 9$

$c = 7$