Trigonometrie Beispiele

$(1.8, - 2)$ , $(3.8, - 1.4)$

Schritt 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Find the dot product.

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Schritt 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1.8 \cdot 3.8 - 2 \cdot - 1.4$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $1.8$ mit $3.8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 - 2 \cdot - 1.4$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1.4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 6.84 + 2.8$

Schritt 2.2.2

Addiere $6.84$ und $2.8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9.64$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{1.8}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $1.8$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3.24 + 4}$

Schritt 3.2.3

Addiere $3.24$ und $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7.24}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{3.8}^{2} + {(- 1.4)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $3.8$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + {(- 1.4)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 1.4$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{14.44 + 1.96}$

Schritt 4.2.3

Addiere $14.44$ und $1.96$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16.4}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24} \sqrt{16.4}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{7.24 \cdot 16.4}})$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $7.24$ mit $16.4$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ mit $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64}{\sqrt{118.736}} \cdot \frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}})$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{9.64}{\sqrt{118.736}}$ mit $\frac{\sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{\sqrt{118.736} \sqrt{118.736}})$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{118.736}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} \sqrt{118.736}})$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{118.736}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1} {\sqrt{118.736}}^{1}})$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{\sqrt{118.736}}^{2}})$

Schritt 6.3.6

Schreibe ${\sqrt{118.736}}^{2}$ als $118.736$ um.

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Schritt 6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{118.736}$ als ${118.736}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{({118.736}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{{118.736}^{1}})$

Schritt 6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{9.64 \sqrt{118.736}}{118.736})$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $9.64$ mit $\sqrt{118.736}$ .

$θ = \arccos (\frac{105.04327196}{118.736})$

Schritt 6.5

Dividiere $105.04327196$ durch $118.736$ .

$θ = \arccos (0.88467922)$

Schritt 6.6

Berechne $\arccos (0.88467922)$ .

$θ = 27.78792807$