Trigonometrie Beispiele

$\frac{y^{\frac{5}{8} \cdot (y^{\frac{3}{8}} - y^{\frac{11}{8}})}}{y^{\frac{1}{3}} (y^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{- 1}{3}})}$

Schritt 1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{y^{\frac{5}{8} \cdot (\sqrt[8]{y^{3}} - y^{\frac{11}{8}})}}{y^{\frac{1}{3}} (y^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{- 1}{3}})}$

Schritt 1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{y^{\frac{5}{8} \cdot (\sqrt[8]{y^{3}} - \sqrt[8]{y^{11}})}}{y^{\frac{1}{3}} (y^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{- 1}{3}})}$

Schritt 1.3

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{y^{\frac{5}{8} \cdot (\sqrt[8]{y^{3}} - \sqrt[8]{y^{11}})}}{\sqrt[3]{y^{1}} (y^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{- 1}{3}})}$

Schritt 1.4

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{y^{\frac{5}{8} \cdot (\sqrt[8]{y^{3}} - \sqrt[8]{y^{11}})}}{\sqrt[3]{y^{1}} (\sqrt[3]{y^{2}} - y^{\frac{- 1}{3}})}$

Schritt 1.5

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{y^{\frac{5}{8} \cdot (\sqrt[8]{y^{3}} - \sqrt[8]{y^{11}})}}{\sqrt[3]{y^{1}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \sqrt[3]{y^{- 1}})}$

Schritt 1.6

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{y^{\frac{5}{8} \cdot (\sqrt[8]{y^{3}} - \sqrt[8]{y^{11}})}}{\sqrt[3]{y} (\sqrt[3]{y^{2}} - \sqrt[3]{y^{- 1}})}$

Schritt 2

Setze den Nenner in $\frac{y^{\frac{5}{8} \cdot (\sqrt[8]{y^{3}} - \sqrt[8]{y^{11}})}}{\sqrt[3]{y} (\sqrt[3]{y^{2}} - \sqrt[3]{y^{- 1}})}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{y} (\sqrt[3]{y^{2}} - \sqrt[3]{y^{- 1}}) = 0$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(\sqrt[3]{y} (\sqrt[3]{y^{2}} - \sqrt[3]{y^{- 1}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y}$ als $y^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \sqrt[3]{y^{- 1}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \sqrt[3]{y^{- 1}}))}^{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \sqrt[3]{\frac{1}{y}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{1}{y}}$ als $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{y}}$ um.

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{y}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{y}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{y}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - (\frac{1}{\sqrt[3]{y}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{2}})))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{y}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{y}}^{2}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.5.2

Potenziere $\sqrt[3]{y}$ mit $1$ .

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{1} {\sqrt[3]{y}}^{2}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{1 + 2}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.5.4

Addiere $1$ und $2$ .

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{{\sqrt[3]{y}}^{3}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.5.5

Schreibe ${\sqrt[3]{y}}^{3}$ als $y$ um.

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Schritt 3.2.2.1.1.5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y}$ als $y^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{3}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.5.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{y^{\frac{1}{3} \cdot 3}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{y^{\frac{3}{3}}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{y^{\frac{3}{3}}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{y^{1}}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.5.5.5

Vereinfache.

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \frac{{\sqrt[3]{y}}^{2}}{y}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.1.6

Schreibe ${\sqrt[3]{y}}^{2}$ als $\sqrt[3]{y^{2}}$ um.

${(y^{\frac{1}{3}} (\sqrt[3]{y^{2}} - \frac{\sqrt[3]{y^{2}}}{y}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(y^{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{y^{2}} + y^{\frac{1}{3}} (- \frac{\sqrt[3]{y^{2}}}{y}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.3

Multipliziere $y^{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{y^{2}}$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y^{2}}$ als $y^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{1}{3}} (- \frac{\sqrt[3]{y^{2}}}{y}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(y^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + y^{\frac{1}{3}} (- \frac{\sqrt[3]{y^{2}}}{y}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(y^{\frac{1 + 2}{3}} + y^{\frac{1}{3}} (- \frac{\sqrt[3]{y^{2}}}{y}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

${(y^{\frac{3}{3}} + y^{\frac{1}{3}} (- \frac{\sqrt[3]{y^{2}}}{y}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y^{\frac{3}{3}} + y^{\frac{1}{3}} (- \frac{\sqrt[3]{y^{2}}}{y}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

${(y^{1} + y^{\frac{1}{3}} (- \frac{\sqrt[3]{y^{2}}}{y}))}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(y^{1} - y^{\frac{1}{3}} \frac{\sqrt[3]{y^{2}}}{y})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.5.1

Vereinfache.

${(y - y^{\frac{1}{3}} \frac{\sqrt[3]{y^{2}}}{y})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.2

Kombiniere $\frac{\sqrt[3]{y^{2}}}{y}$ und $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y - \frac{\sqrt[3]{y^{2}} y^{\frac{1}{3}}}{y})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y^{2}}$ als $y^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(y - \frac{y^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}}}{y})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(y - \frac{y^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{y})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(y - \frac{y^{\frac{2 + 1}{3}}}{y})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.6

Addiere $2$ und $1$ .

${(y - \frac{y^{\frac{3}{3}}}{y})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.5.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - \frac{y^{\frac{3}{3}}}{y})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.7.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - \frac{y^{1}}{y})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{1}$ und $y$ .

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Schritt 3.2.2.1.5.8.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

${(y - \frac{y \cdot 1}{y})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.1.5.8.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

${(y - \frac{y \cdot 1}{y^{1}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.8.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

${(y - \frac{y \cdot 1}{y \cdot 1})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.8.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - \frac{y \cdot 1}{y \cdot 1})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.8.2.4

Forme den Ausdruck um.

${(y - \frac{1}{1})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.8.2.5

Forme den Ausdruck um.

${(y - 1 \cdot 1)}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.2.1.5.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(y - 1)}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(y - 1)}^{3} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $y - 1$ gleich $0$ .

$y - 1 = 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 1$

Schritt 4

Setze den Radikanden in $\sqrt[8]{y^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y^{3} < 0$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{y^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y < \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$y < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y < 0$

Schritt 6

Setze den Radikanden in $\sqrt[8]{y^{11}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y^{11} < 0$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[11]{y^{11}} < \sqrt[11]{0}$

Schritt 7.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y < \sqrt[11]{0}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[11]{0}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{11}$ um.

$y < \sqrt[11]{0^{11}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y < 0$

Schritt 8

Setze die Basis in $y^{- 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y = 0$

Schritt 9

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$y < 0, y = 1$

$(- \infty, 0) \cup [1, 1]$

Schritt 10