Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{7 x^{2} - 65 x + 18}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{7 x^{2} - 65 x + 18}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$7 x^{2} - 65 x + 18 < 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$7 x^{2} - 65 x + 18 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 7 \cdot 18 = 126$ und deren Summe gleich $b = - 65$ ist.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 65$ aus $- 65 x$ heraus.

$7 x^{2} - 65 x + 18 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 65$ um als $- 2$ plus $- 63$

$7 x^{2} + (- 2 - 63) x + 18 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x^{2} - 2 x - 63 x + 18 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(7 x^{2} - 2 x) - 63 x + 18 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (7 x - 2) - 9 (7 x - 2) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $7 x - 2$ .

$(7 x - 2) (x - 9) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 x - 2 = 0$

$x - 9 = 0$

Schritt 2.4

Setze $7 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $7 x - 2$ gleich $0$ .

$7 x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $7 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = 2$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 2$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = 2$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{2}{7}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{7}$

Schritt 2.5

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 x - 2) (x - 9) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{7}, 9$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{2}{7}$

$\frac{2}{7} < x < 9$

$x > 9$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{2}{7}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{2}{7}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$7 {(0)}^{2} - 65 \cdot 0 + 18 < 0$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $18$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{2}{7} < x < 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{2}{7} < x < 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$7 {(5)}^{2} - 65 \cdot 5 + 18 < 0$

Schritt 2.8.2.3

Die linke Seite $- 132$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 12$

Schritt 2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$7 {(12)}^{2} - 65 \cdot 12 + 18 < 0$

Schritt 2.8.3.3

Die linke Seite $246$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{2}{7}$ Falsch

$\frac{2}{7} < x < 9$ Wahr

$x > 9$ Falsch

$x < \frac{2}{7}$ Falsch

$\frac{2}{7} < x < 9$ Wahr

$x > 9$ Falsch

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{2}{7} < x < 9$

Schritt 3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$\frac{2}{7} < x < 9$

$(\frac{2}{7}, 9)$

Schritt 4