Trigonometrie Beispiele

$\frac{- 3 \sin (x) + 4 \cos (x)}{5 \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{- 3 \sin (x) + 4 \cos (x)}{5 \cos (x) + 2 \sin (x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 \cos (x) + 2 \sin (x) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5 + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.3

Separiere Brüche.

$5 + \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$5 + \frac{2}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5

Dividiere $2$ durch $1$ .

$5 + 2 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.6

Separiere Brüche.

$5 + 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$5 + 2 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 2.8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$5 + 2 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$5 + 2 \tan (x) = 0$

Schritt 2.10

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \tan (x) = - 5$

Schritt 2.11

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (x) = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.11.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (x) = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.11.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (x) = - \frac{5}{2}$

Schritt 2.12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \frac{5}{2})$

Schritt 2.13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.13.1

Berechne $\arctan (- \frac{5}{2})$ .

$x = - 1.19028994$

Schritt 2.14

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 1.19028994 - (3.14159265)$

Schritt 2.15

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.15.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.19028994 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.19028994 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 2.15.2

Der resultierende Winkel von $1.9513027$ ist positiv und gleich $- 1.19028994 - (3.14159265)$ .

$x = 1.9513027$

Schritt 2.16

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 2.16.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.16.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.16.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.16.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.17

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.17.1

Addiere $π$ zu $- 1.19028994$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.19028994 + π$

Schritt 2.17.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 1.19028994$

Schritt 2.17.3

Subtrahiere $1.19028994$ von $3.14159265$ .

$1.9513027$

Schritt 2.17.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 1.9513027$

Schritt 2.18

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.9513027 + π n, 1.9513027 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = 1.9513027 + π n, x = 1.9513027 + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4