Trigonometrie Beispiele

$\sec (arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}))$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$u = 0$

Schritt 2

Setze den Radikanden in $\sqrt{64 - u^{2}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$64 - u^{2} < 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- u^{2} < - 64$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- u^{2} < - 64$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Term in $- u^{2} < - 64$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- u^{2}}{- 1} > \frac{- 64}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{u^{2}}{1} > \frac{- 64}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $u^{2}$ durch $1$ .

$u^{2} > \frac{- 64}{- 1}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $- 64$ durch $- 1$ .

$u^{2} > 64$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{u^{2}} > \sqrt{64}$

Schritt 3.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| u | > \sqrt{64}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{64}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$| u | > \sqrt{8^{2}}$

Schritt 3.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| u | > | 8 |$

Schritt 3.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $8$ ist $8$ .

$| u | > 8$

Schritt 3.5

Schreibe $| u | > 8$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 3.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$u \geq 0$

Schritt 3.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $u$ nicht negativ ist.

$u > 8$

Schritt 3.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$u < 0$

Schritt 3.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $u$ negativ ist.

$- u > 8$

Schritt 3.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} u > 8 & u \geq 0 \\ - u > 8 & u < 0 \end{cases}$

Schritt 3.6

Bestimme die Schnittmenge von $u > 8$ und $u \geq 0$ .

$u > 8$

Schritt 3.7

Teile jeden Ausdruck in $- u > 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Teile jeden Term in $- u > 8$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- u}{- 1} < \frac{8}{- 1}$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{u}{1} < \frac{8}{- 1}$

Schritt 3.7.2.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u < \frac{8}{- 1}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.3.1

Dividiere $8$ durch $- 1$ .

$u < - 8$

Schritt 3.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$u < - 8$ oder $u > 8$

Schritt 4

Setze das Argument in $\sec (arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}))$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$arccot (\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u}) = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $u$ from inside the arccotangent.

$\frac{\sqrt{64 - u^{2}}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{8^{2} - u^{2}}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 5.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 8$ und $b = u$ .

$\frac{\sqrt{(8 + u) (8 - u)}}{u} = \cot (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 5.3

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$\cot (\frac{π}{2} + π n) \cdot (u) = \sqrt{(8 + u) (8 - u)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Stelle die Faktoren in $\cot (\frac{π}{2} + π n) u$ um.

$u \cot (\frac{π}{2} + π n) = \sqrt{(8 + u) (8 - u)}$

Schritt 5.4

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{(8 + u) (8 - u)} = u \cot (\frac{π}{2} + π n)$ um.

$\sqrt{(8 + u) (8 - u)} = u \cot (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 5.5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{(8 + u) (8 - u)}}^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(8 + u) (8 - u)}$ als ${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Vereinfache ${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.6.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${((8 + u) (8 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${((8 + u) (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.2

Multipliziere $(8 + u) (8 - u)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.6.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(8 (8 - u) + u (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(8 \cdot 8 + 8 (- u) + u (8 - u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(8 \cdot 8 + 8 (- u) + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.6.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

${(64 + 8 (- u) + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

${(64 - 8 u + u \cdot 8 + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.3.1.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $u$ .

${(64 - 8 u + 8 \cdot u + u (- u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(64 - 8 u + 8 u - u \cdot u)}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.3.1.5

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.2.1.3.1.5.1

Bewege $u$ .

${(64 - 8 u + 8 u - (u \cdot u))}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

${(64 - 8 u + 8 u - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.3.2

Addiere $- 8 u$ und $8 u$ .

${(64 + 0 - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.3.3

Addiere $64$ und $0$ .

${(64 - u^{2})}^{1} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.2.1.4

Vereinfache.

$64 - u^{2} = {(u \cot (\frac{π}{2} + π n))}^{2}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Wende die Produktregel auf $u \cot (\frac{π}{2} + π n)$ an.

$64 - u^{2} = u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 5.7

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.7.1

Bringe alle Terme, die $u$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.7.1.1

Subtrahiere $u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$64 - u^{2} - u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

Schritt 5.7.1.2

Faktorisiere $- u^{2}$ aus $- u^{2}$ heraus.

$64 - u^{2} (1) - u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

Schritt 5.7.1.3

Faktorisiere $- u^{2}$ aus $- u^{2} \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ heraus.

$64 - u^{2} (1) - u^{2} (\cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)) = 0$

Schritt 5.7.1.4

Faktorisiere $- u^{2}$ aus $- u^{2} (1) - u^{2} (\cot^{2} (\frac{π}{2} + π n))$ heraus.

$64 - u^{2} (1 + \cot^{2} (\frac{π}{2} + π n)) = 0$

Schritt 5.7.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$64 - u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = 0$

Schritt 5.7.2

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$

Schritt 5.7.3

Teile jeden Ausdruck in $- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$ durch $- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n) = - 64$ durch $- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ .

$\frac{- u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Schritt 5.7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Schritt 5.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)$ .

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Schritt 5.7.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{u^{2} \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Schritt 5.7.3.2.2.2

Dividiere $u^{2}$ durch $1$ .

$u^{2} = \frac{- 64}{- \csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Schritt 5.7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$u^{2} = \frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$

Schritt 5.7.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{\frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$

Schritt 5.7.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{64}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$ .

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Schritt 5.7.5.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$u = \pm \sqrt{\frac{8^{2}}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}}$

Schritt 5.7.5.2

Schreibe $\frac{8^{2}}{\csc^{2} (\frac{π}{2} + π n)}$ als ${(\frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)})}^{2}$ um.

$u = \pm \sqrt{{(\frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)})}^{2}}$

Schritt 5.7.5.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u = \pm \frac{8}{\csc (\frac{π}{2} + π n)}$

Schritt 5.7.5.4

Separiere Brüche.

$u = \pm \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\csc (\frac{π}{2} + π n)}$

Schritt 5.7.5.5

Schreibe $\csc (\frac{π}{2} + π n)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$u = \pm \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} + π n)}}$

Schritt 5.7.5.6

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (\frac{π}{2} + π n)}$ zu dividieren.

$u = \pm \frac{8}{1} (1 \sin (\frac{π}{2} + π n))$

Schritt 5.7.5.7

Mutltipliziere $\sin (\frac{π}{2} + π n)$ mit $1$ .

$u = \pm \frac{8}{1} \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 5.7.5.8

Dividiere $8$ durch $1$ .

$u = \pm 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 5.7.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.7.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 5.7.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 5.7.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

$u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${u | u < - 8, u > 8, u = 0, u = 8 \sin (\frac{π}{2} + π n), u = - 8 \sin (\frac{π}{2} + π n)}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7