Trigonometrie Beispiele

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\sin^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} - \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ heraus.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1

Schreibe ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ als $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ um.

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Multipliziere $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 2.5.3.1.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.3.1.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.3.1.2

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 2.5.3.1.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.3.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.3.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.3.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.3.2

Stelle die Faktoren von $\sin (x) \cos (x)$ um.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.3.3

Addiere $\cos (x) \sin (x)$ und $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.4

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.6.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.6.2

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.6.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$1 + \sin (2 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 + \sin (2 x) - 1 = 0$

Schritt 2.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + \sin (2 x) - 1$ .

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Schritt 2.6.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 + \sin (2 x) = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $0$ und $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) = 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.