Trigonometrie Beispiele

$\frac{4}{x^{2} - x - 12} + \frac{1}{x^{2} - 9} = \frac{2}{x^{2} - 7 x + 12}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{2}{x^{2} - 7 x + 12}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4}{x^{2} - x - 12} + \frac{1}{x^{2} - 9} - \frac{2}{x^{2} - 7 x + 12} = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4}{(x - 4) (x + 3)} + \frac{1}{x^{2} - 9} - \frac{2}{x^{2} - 7 x + 12} = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{4}{(x - 4) (x + 3)} + \frac{1}{x^{2} - 3^{2}} - \frac{2}{x^{2} - 7 x + 12} = 0$

Schritt 2.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{4}{(x - 4) (x + 3)} + \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2}{x^{2} - 7 x + 12} = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 4, - 3$

Schritt 2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4}{(x - 4) (x + 3)} + \frac{1}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2}{(x - 4) (x - 3)} = 0$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{4}{(x - 4) (x + 3)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 4) (x + 3) = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4.2

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 3$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$

Schritt 7

Setze den Nenner in $\frac{2}{(x - 4) (x - 3)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 4) (x - 3) = 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 8.2

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 8.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 8.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 8.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 8.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 3$

Schritt 9

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 3, x = 3, x = 4$

Schritt 10