Trigonometrie Beispiele

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}} = 0$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) - 1}{\sqrt{\sin (x)}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{\sin (x)} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\sin (x)}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\sin (x)}$ als ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({\sin (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\sin (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{1} (x) = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Vereinfache.

$\sin (x) = 0^{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 2.3.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 2.3.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.3.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.3.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.3.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.3.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.3.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.4

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.5

Verifiziere jede der Lösngen durch Einsetzen in $\sqrt{\sin (x)} = 0$ und Auflösen.

$x = 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{\sin (x)}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sin (x) < 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x < \arcsin (0)$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x < 0$

Schritt 4.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 4.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 4.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

Schritt 4.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 4.9.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 4.9.1.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2) < 0$

Schritt 4.9.1.3

Die linke Seite $0.90929742$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.9.2

Teste einen Wert im Intervall $π < x < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < x < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 4.9.2.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (5) < 0$

Schritt 4.9.2.3

Die linke Seite $- 0.95892427$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.9.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < π$ Falsch

$π < x < 2 π$ Wahr

$0 < x < π$ Falsch

$π < x < 2 π$ Wahr

Schritt 4.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = 2 π n, x = π + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6