Trigonometrie Beispiele

$y = \tan (5 - \sin^{2} (2 x))$

Schritt 1

Setze das Argument in $\tan (5 - \sin^{2} (2 x))$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 - \sin^{2} (2 x) = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin^{2} (2 x) = \frac{π}{2} + π n - 5$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin^{2} (2 x) = \frac{π}{2} + π n - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin^{2} (2 x) = \frac{π}{2} + π n - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin^{2} (2 x)}{- 1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin^{2} (2 x)}{1} = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $\sin^{2} (2 x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (2 x) = \frac{\frac{π}{2}}{- 1} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{π}{2}}{- 1}$ .

$\sin^{2} (2 x) = - 1 \cdot \frac{π}{2} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{π}{2}$ als $- \frac{π}{2}$ um.

$\sin^{2} (2 x) = - \frac{π}{2} + \frac{π n}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.2.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{π n}{- 1}$ .

$\sin^{2} (2 x) = - \frac{π}{2} - 1 \cdot (π n) + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.2.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (π n)$ als $- (π n)$ um.

$\sin^{2} (2 x) = - \frac{π}{2} - (π n) + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 2.2.3.1.5

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$\sin^{2} (2 x) = - \frac{π}{2} - π n + 5$

Schritt 2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{- \frac{π}{2} - π n + 5}$

Schritt 2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{π}{2} - π n + 5}$ .

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{- π n + 5 - \frac{π}{2}}$

Schritt 2.4.2

Um $- π n$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{- π n \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} + 5}$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $- π n$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- π n \cdot 2}{2} - \frac{π}{2} + 5}$

Schritt 2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- π n \cdot 2 - π}{2} + 5}$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π}{2} + 5}$

Schritt 2.4.6

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.4.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.4.7.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.4.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π + 5 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n - π + 10}{2}}$

Schritt 2.4.8.2

Stelle die Terme um.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{- 2 π n + 10 - π}{2}}$

Schritt 2.4.9

Schreibe $\sqrt{\frac{- 2 π n + 10 - π}{2}}$ als $\frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}}$ um.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.11.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.11.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.4.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.11.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.11.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.11.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.11.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.11.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.4.11.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{- 2 π n + 10 - π} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.12

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{(- 2 π n + 10 - π) \cdot 2}}{2}$

Schritt 2.4.13

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(- 2 π n + 10 - π) \cdot 2}}{2}$ um.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

Schritt 2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

Schritt 2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

Schritt 2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

Schritt 2.6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$

Schritt 2.7

Löse in $\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$

Schritt 2.7.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

Schritt 2.8

Löse in $\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$

Schritt 2.8.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

Schritt 2.8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

Schritt 2.8.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$

Schritt 2.9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- 2 π n + 10 - π)}}{2})}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = - 0.28301993 + 0.28301993 n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = - 0.28301993 + 0.28301993 n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4