Trigonometrie Beispiele

$\frac{\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}}{\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 r^{2} + 23 r - 10 = 0$

Schritt 2

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 10 = - 50$ und deren Summe gleich $b = 23$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $23$ aus $23 r$ heraus.

$5 r^{2} + 23 (r) - 10 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $23$ um als $- 2$ plus $25$

$5 r^{2} + (- 2 + 25) r - 10 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 r^{2} - 2 r + 25 r - 10 = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 r^{2} - 2 r) + 25 r - 10 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$r (5 r - 2) + 5 (5 r - 2) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 r - 2$ .

$(5 r - 2) (r + 5) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 r - 2 = 0$

$r + 5 = 0$

Schritt 2.3

Setze $5 r - 2$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $5 r - 2$ gleich $0$ .

$5 r - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $5 r - 2 = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 r = 2$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 r = 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 r = 2$ durch $5$ .

$\frac{5 r}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 r}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{2}{5}$

Schritt 2.4

Setze $r + 5$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $r + 5$ gleich $0$ .

$r + 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = - 5$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 r - 2) (r + 5) = 0$ wahr machen.

$r = \frac{2}{5}, - 5$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$9 r^{2} + 43 r - 10 = 0$

Schritt 4

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot - 10 = - 90$ und deren Summe gleich $b = 43$ ist.

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $43$ aus $43 r$ heraus.

$9 r^{2} + 43 (r) - 10 = 0$

Schritt 4.1.1.2

Schreibe $43$ um als $- 2$ plus $45$

$9 r^{2} + (- 2 + 45) r - 10 = 0$

Schritt 4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 r^{2} - 2 r + 45 r - 10 = 0$

Schritt 4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 r^{2} - 2 r) + 45 r - 10 = 0$

Schritt 4.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$r (9 r - 2) + 5 (9 r - 2) = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 r - 2$ .

$(9 r - 2) (r + 5) = 0$

Schritt 4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 r - 2 = 0$

$r + 5 = 0$

Schritt 4.3

Setze $9 r - 2$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $9 r - 2$ gleich $0$ .

$9 r - 2 = 0$

Schritt 4.3.2

Löse $9 r - 2 = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 r = 2$

Schritt 4.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 r = 2$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 r = 2$ durch $9$ .

$\frac{9 r}{9} = \frac{2}{9}$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 r}{9} = \frac{2}{9}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{2}{9}$

Schritt 4.4

Setze $r + 5$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $r + 5$ gleich $0$ .

$r + 5 = 0$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = - 5$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(9 r - 2) (r + 5) = 0$ wahr machen.

$r = \frac{2}{9}, - 5$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{\frac{10 r^{2} - 94 r + 36}{5 r^{2} + 23 r - 10}}{\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{45 r^{2} - 23 r + 4}{9 r^{2} + 43 r - 10} = 0$

Schritt 6

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$45 r^{2} - 23 r + 4 = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $r$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 45$ , $b = - 23$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (45 \cdot 4)}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $- 23$ mit $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 180$ mit $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $720$ von $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 191$ als $- 1 (191)$ um.

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (191)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ um.

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.1.1

Potenziere $- 23$ mit $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

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Schritt 6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 180$ mit $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.4.1.3

Subtrahiere $720$ von $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.4.1.4

Schreibe $- 191$ als $- 1 (191)$ um.

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (191)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ um.

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Schritt 6.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$r = \frac{23 + i \sqrt{191}}{90}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1.1

Potenziere $- 23$ mit $2$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 4 \cdot 45 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 45 \cdot 4$ .

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Schritt 6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $45$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 180 \cdot 4}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 180$ mit $4$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 720}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.5.1.3

Subtrahiere $720$ von $529$ .

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 191}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.5.1.4

Schreibe $- 191$ als $- 1 (191)$ um.

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1 \cdot 191}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (191)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}$ um.

$r = \frac{23 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{2 \cdot 45}$

Schritt 6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $45$ .

$r = \frac{23 \pm i \sqrt{191}}{90}$

Schritt 6.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$r = \frac{23 - i \sqrt{191}}{90}$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = \frac{23 + i \sqrt{191}}{90}, \frac{23 - i \sqrt{191}}{90}$

Schritt 7

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$r = - 5, r = \frac{2}{9}, r = \frac{2}{5}$

Schritt 8