Trigonometrie Beispiele

$\cot (2 x) = \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1}{2 \cot (x)}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\cot (2 x) - \frac{\cot^{2} (x) - 1^{2}}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cot (x)$ und $b = 1$ .

$\cot (2 x) - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.2

Um $\cot (2 x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\cot (2 x) \cdot \frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.3

Kombiniere $\cot (2 x)$ und $\frac{2 \cot (x)}{2 \cot (x)}$ .

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x))}{2 \cot (x)} - \frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cot (2 x) (2 \cot (x)) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cot (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot \cot (2 x) \cot (x) - (\cot (x) + 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1 \cdot 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) + (- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.4

Multipliziere $(- \cot (x) - 1) (\cot (x) - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) (\cot (x) - 1) - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 (\cot (x) - 1)}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot (x) \cot (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.5.1.1

Multipliziere $- \cot (x) \cot (x)$ .

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Schritt 2.5.5.1.1.1

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.5.1.1.2

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.5.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - {\cot (x)}^{1 + 1} - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.5.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) - \cot (x) \cdot - 1 - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.5.1.2

Multipliziere $- \cot (x) \cdot - 1$ .

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Schritt 2.5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1 \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.5.1.2.2

Mutltipliziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - 1 \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.5.1.3

Schreibe $- 1 \cot (x)$ als $- \cot (x)$ um.

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) - 1 \cdot - 1}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + \cot (x) - \cot (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.5.2

Subtrahiere $\cot (x)$ von $\cot (x)$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 0 + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 2.5.5.3

Addiere $- \cot^{2} (x)$ und $0$ .

$\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)} = 0$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{2 \cot (2 x) \cot (x) - \cot^{2} (x) + 1}{2 \cot (x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \cot (x) = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cot (x) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cot (x) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cot (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Dividiere $\cot (x)$ durch $1$ .

$\cot (x) = \frac{0}{2}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\cot (x) = 0$

Schritt 4.2

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (0)$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.4

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache $π + \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.5.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 4.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.5.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Schritt 4.5.3.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 4.6

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

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Schritt 4.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 4.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 4.6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 4.7

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Setze das Argument in $\cot (2 x)$ gleich $π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π n$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π n$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π n}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π n}{2}$

Schritt 7

Setze das Argument in $\cot (x)$ gleich $π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = \frac{π}{2} + π n, x = \frac{π n}{2}, x = π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9