Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin^{2} (a)}{1 - \cos (a)} = 1 + \cos (a)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sin^{2} (a)}{1 - \cos (a)} - 1 = \cos (a)$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\cos (a)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sin^{2} (a)}{1 - \cos (a)} - 1 - \cos (a) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{\sin^{2} (a)}{1 - \cos (a)} - 1 - \cos (a)$ .

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Schritt 2.1

Um $- \cos (a)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ .

$\frac{\sin^{2} (a)}{1 - \cos (a)} - \cos (a) \cdot \frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- \cos (a)$ und $\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ .

$\frac{\sin^{2} (a)}{1 - \cos (a)} + \frac{- \cos (a) (1 - \cos (a))}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) \cdot 1 - \cos (a) (- \cos (a))}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) - \cos (a) (- \cos (a))}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.3

Multipliziere $- \cos (a) (- \cos (a))$ .

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Schritt 2.4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + 1 \cos (a) \cos (a)}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.3.2

Mutltipliziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos (a) \cos (a)}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.3.3

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos (a)}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.3.4

Potenziere $\cos (a)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos^{1} (a)}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + {\cos (a)}^{1 + 1}}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{2} (a)}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{2} (a)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.4.1.4.1

Ordne Terme um.

$\frac{- \cos (a) + \sin^{2} (a) + \cos^{2} (a)}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.4.1.4.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cos (a) + 1}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- \cos (a) + 1$ und $1 - \cos (a)$ .

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Schritt 2.4.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)} - 1 = 0$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - 1 = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0 = 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.