Trigonometrie Beispiele

$10 \log_{9} (\sqrt[5]{y}) = 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 \log_{9} (\sqrt[5]{y}) - 1 = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Vereinfache $10 \log_{9} (\sqrt[5]{y})$ , indem du $10$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{9} ({\sqrt[5]{y}}^{10}) - 1 = 0$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt[5]{y}}^{10}$ als $y^{2}$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{y}$ als $y^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\log_{9} ({(y^{\frac{1}{5}})}^{10}) - 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{9} (y^{\frac{1}{5} \cdot 10}) - 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $10$ .

$\log_{9} (y^{\frac{10}{5}}) - 1 = 0$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\log_{9} (y^{\frac{5 \cdot 2}{5}}) - 1 = 0$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\log_{9} (y^{\frac{5 \cdot 2}{5 (1)}}) - 1 = 0$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{9} (y^{\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}}) - 1 = 0$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{9} (y^{\frac{2}{1}}) - 1 = 0$

Schritt 2.2.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\log_{9} (y^{2}) - 1 = 0$

Schritt 3

Setze das Argument in $\log_{9} (y^{2})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y^{2} \leq 0$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{0}$

Schritt 4.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y | \leq \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache $\sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$| y | \leq \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y | \leq | 0 |$

Schritt 4.2.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$| y | \leq 0$

Schritt 4.3

Schreibe $| y | \leq 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 4.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$y \geq 0$

Schritt 4.3.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $y$ nicht negativ ist.

$y \leq 0$

Schritt 4.3.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$y < 0$

Schritt 4.3.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $y$ negativ ist.

$- y \leq 0$

Schritt 4.3.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} y \leq 0 & y \geq 0 \\ - y \leq 0 & y < 0 \end{cases}$

Schritt 4.4

Bestimme die Schnittmenge von $y \leq 0$ und $y \geq 0$ .

$y = 0$

Schritt 4.5

Löse $- y \leq 0$ , wenn $y < 0$ ergibt.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y \leq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1.1

Teile jeden Term in $- y \leq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- y}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$y \geq 0$

Schritt 4.5.2

Bestimme die Schnittmenge von $y \geq 0$ und $y < 0$ .

Keine Lösung

Schritt 4.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$y = 0$

Schritt 5