Trigonometrie Beispiele

$2 \log (x) = \log (x^{2} + 2 x - 5)$

Schritt 1

Subtrahiere $\log (x^{2} + 2 x - 5)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \log (x) - \log (x^{2} + 2 x - 5) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $2 \log (x) - \log (x^{2} + 2 x - 5)$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache $2 \log (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{2}) - \log (x^{2} + 2 x - 5) = 0$

Schritt 2.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x - 5}) = 0$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x - 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $4$ und $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 4.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Addiere $4$ und $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 4.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Schritt 4.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{6}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Addiere $4$ und $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 4.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Schritt 4.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{6}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Schritt 5

Setze das Argument in $\log (\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x - 5})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x - 5} \leq 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Schritt 6.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6

Vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 6.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.3

Addiere $4$ und $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 6.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Schritt 6.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 6.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.3

Addiere $4$ und $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 6.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 6.7.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Schritt 6.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{6}$

Schritt 6.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 6.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.1.3

Addiere $4$ und $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 6.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 6.8.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Schritt 6.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{6}$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Schritt 6.10

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Schritt 6.11

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Schritt 6.12

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x - 5}$ .

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Schritt 6.12.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x - 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Schritt 6.12.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.12.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.12.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.12.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.12.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 6.12.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.3.1.3

Addiere $4$ und $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.3.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.12.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 6.12.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Schritt 6.12.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.12.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.12.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 6.12.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.4.1.3

Addiere $4$ und $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.4.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 6.12.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 6.12.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Schritt 6.12.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{6}$

Schritt 6.12.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.12.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.12.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 6.12.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.5.1.3

Addiere $4$ und $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.5.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 6.12.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.12.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 6.12.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{6}$

Schritt 6.12.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{6}$

Schritt 6.12.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

Schritt 6.12.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{6}) \cup (- 1 - \sqrt{6}, - 1 + \sqrt{6}) \cup (- 1 + \sqrt{6}, \infty)$

Schritt 6.13

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1 - \sqrt{6}$

$- 1 - \sqrt{6} < x < 0$

$0 < x < - 1 + \sqrt{6}$

$x > - 1 + \sqrt{6}$

Schritt 6.14

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.14.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1 - \sqrt{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.14.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1 - \sqrt{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 6.14.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 6)}^{2}}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 5} \leq 0$

Schritt 6.14.1.3

Die linke Seite $1.89473684$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.14.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 - \sqrt{6} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.14.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 - \sqrt{6} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 6.14.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 5} \leq 0$

Schritt 6.14.2.3

Die linke Seite $- 0.8$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.14.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < - 1 + \sqrt{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.14.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < - 1 + \sqrt{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 6.14.3.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 2 (1) - 5} \leq 0$

Schritt 6.14.3.3

Die linke Seite $- 0.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.14.4

Teste einen Wert im Intervall $x > - 1 + \sqrt{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.14.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 1 + \sqrt{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 6.14.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(4)}^{2}}{{(4)}^{2} + 2 (4) - 5} \leq 0$

Schritt 6.14.4.3

Die linke Seite $0.84210526$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.14.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1 - \sqrt{6}$ Falsch

$- 1 - \sqrt{6} < x < 0$ Wahr

$0 < x < - 1 + \sqrt{6}$ Wahr

$x > - 1 + \sqrt{6}$ Falsch

$x < - 1 - \sqrt{6}$ Falsch

$- 1 - \sqrt{6} < x < 0$ Wahr

$0 < x < - 1 + \sqrt{6}$ Wahr

$x > - 1 + \sqrt{6}$ Falsch

Schritt 6.15

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 - \sqrt{6} < x \leq 0$ oder $0 \leq x < - 1 + \sqrt{6}$

Schritt 6.16

Vereine die Intervalle.

$- 1 - \sqrt{6} < x < - 1 + \sqrt{6}$

Schritt 7

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$- 1 - \sqrt{6} \leq x \leq - 1 + \sqrt{6}$

$[- 1 - \sqrt{6}, - 1 + \sqrt{6}]$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 1 - \sqrt{6} \leq x \leq - 1 + \sqrt{6} [- 1 - \sqrt{6}, - 1 + \sqrt{6}]$

Intervallschreibweise:

$[- 1 - \sqrt{6}, - 1 + \sqrt{6})$

Schritt 9