Trigonometrie Beispiele

$P (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 48 x^{2} + 98 x - 49$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$P (x) = - 2 x^{3} + 98 x + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Schritt 2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3} + 98 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$P (x) = - 2 x \cdot x^{2} + 98 x + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $98 x$ heraus.

$P (x) = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 49 + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 49)$ heraus.

$P (x) = - 2 x (x^{2} - 49) + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Schritt 3

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$P (x) = - 2 x (x^{2} - 7^{2}) + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$P (x) = - 2 x ((x + 7) (x - 7)) + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Schritt 5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + {(x^{2})}^{2} - 48 x^{2} - 49$

Schritt 6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + u^{2} - 48 u - 49$

Schritt 7

Faktorisiere $u^{2} - 48 u - 49$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 49$ und deren Summe $- 48$ ist.

$- 49, 1$

Schritt 7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + (u - 49) (u + 1)$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + (x^{2} - 49) (x^{2} + 1)$

Schritt 9

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + (x^{2} - 7^{2}) (x^{2} + 1)$

Schritt 10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$P (x) = - 2 x (x + 7) (x - 7) + (x + 7) (x - 7) (x^{2} + 1)$

Schritt 11

Faktorisiere $(x + 7) (x - 7)$ aus $- 2 x (x + 7) (x - 7) + (x + 7) (x - 7) (x^{2} + 1)$ heraus.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $(x + 7) (x - 7)$ aus $- 2 x (x + 7) (x - 7)$ heraus.

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (- 2 x) + (x + 7) (x - 7) (x^{2} + 1)$

Schritt 11.2

Faktorisiere $(x + 7) (x - 7)$ aus $(x + 7) (x - 7) (- 2 x) + (x + 7) (x - 7) (x^{2} + 1)$ heraus.

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (- 2 x + x^{2} + 1)$

Schritt 12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (- 2 u + u^{2} + 1)$

Schritt 13

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 13.1

Ordne Terme um.

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (u^{2} - 2 u + 1)$

Schritt 13.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (u^{2} - 2 u + 1^{2})$

Schritt 13.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 13.4

Schreibe das Polynom neu.

$P (x) = (x + 7) (x - 7) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 13.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) {(u - 1)}^{2}$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$P (x) = (x + 7) (x - 7) {(x - 1)}^{2}$