Trigonometrie Beispiele

$\frac{3 y + 2}{4 y^{2} - 8 y - 32} + \frac{9}{4 y^{2} - 20 y + 16}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2} - 8 y - 32$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$\frac{3 y + 2}{4 (y^{2}) - 8 y - 32} + \frac{9}{4 y^{2} - 20 y + 16}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8 y$ heraus.

$\frac{3 y + 2}{4 (y^{2}) + 4 (- 2 y) - 32} + \frac{9}{4 y^{2} - 20 y + 16}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 32$ heraus.

$\frac{3 y + 2}{4 y^{2} + 4 (- 2 y) + 4 \cdot - 8} + \frac{9}{4 y^{2} - 20 y + 16}$

Schritt 1.1.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2} + 4 (- 2 y)$ heraus.

$\frac{3 y + 2}{4 (y^{2} - 2 y) + 4 \cdot - 8} + \frac{9}{4 y^{2} - 20 y + 16}$

Schritt 1.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{2} - 2 y) + 4 \cdot - 8$ heraus.

$\frac{3 y + 2}{4 (y^{2} - 2 y - 8)} + \frac{9}{4 y^{2} - 20 y + 16}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $y^{2} - 2 y - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 4, 2$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3 y + 2}{4 ((y - 4) (y + 2))} + \frac{9}{4 y^{2} - 20 y + 16}$

$\frac{3 y + 2}{4 (y - 4) (y + 2)} + \frac{9}{4 y^{2} - 20 y + 16}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2} - 20 y + 16$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$\frac{3 y + 2}{4 (y - 4) (y + 2)} + \frac{9}{4 (y^{2}) - 20 y + 16}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 20 y$ heraus.

$\frac{3 y + 2}{4 (y - 4) (y + 2)} + \frac{9}{4 (y^{2}) + 4 (- 5 y) + 16}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{3 y + 2}{4 (y - 4) (y + 2)} + \frac{9}{4 y^{2} + 4 (- 5 y) + 4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2} + 4 (- 5 y)$ heraus.

$\frac{3 y + 2}{4 (y - 4) (y + 2)} + \frac{9}{4 (y^{2} - 5 y) + 4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{2} - 5 y) + 4 \cdot 4$ heraus.

$\frac{3 y + 2}{4 (y - 4) (y + 2)} + \frac{9}{4 (y^{2} - 5 y + 4)}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $y^{2} - 5 y + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 4, - 1$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3 y + 2}{4 (y - 4) (y + 2)} + \frac{9}{4 ((y - 4) (y - 1))}$

$\frac{3 y + 2}{4 (y - 4) (y + 2)} + \frac{9}{4 (y - 4) (y - 1)}$

Schritt 2

Um $\frac{3 y + 2}{4 (y - 4) (y + 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{3 y + 2}{4 (y - 4) (y + 2)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} + \frac{9}{4 (y - 4) (y - 1)}$

Schritt 3

Um $\frac{9}{4 (y - 4) (y - 1)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{3 y + 2}{4 (y - 4) (y + 2)} \cdot \frac{y - 1}{y - 1} + \frac{9}{4 (y - 4) (y - 1)} \cdot \frac{y + 2}{y + 2}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4 (y - 4) (y + 2) (y - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3 y + 2}{4 (y - 4) (y + 2)}$ mit $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{(3 y + 2) (y - 1)}{4 (y - 4) (y + 2) (y - 1)} + \frac{9}{4 (y - 4) (y - 1)} \cdot \frac{y + 2}{y + 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{9}{4 (y - 4) (y - 1)}$ mit $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{(3 y + 2) (y - 1)}{4 (y - 4) (y + 2) (y - 1)} + \frac{9 (y + 2)}{4 (y - 4) (y - 1) (y + 2)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $4 (y - 4) (y + 2) (y - 1)$ um.

$\frac{(3 y + 2) (y - 1)}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)} + \frac{9 (y + 2)}{4 (y - 4) (y - 1) (y + 2)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $4 (y - 4) (y - 1) (y + 2)$ um.

$\frac{(3 y + 2) (y - 1)}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)} + \frac{9 (y + 2)}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(3 y + 2) (y - 1) + 9 (y + 2)}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(3 y + 2) (y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 y (y - 1) + 2 (y - 1) + 9 (y + 2)}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 y \cdot y + 3 y \cdot - 1 + 2 (y - 1) + 9 (y + 2)}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 y \cdot y + 3 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 9 (y + 2)}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.1.1

Bewege $y$ .

$\frac{3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 9 (y + 2)}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{3 y^{2} + 3 y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + 9 (y + 2)}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 y^{2} - 3 y + 2 y + 2 \cdot - 1 + 9 (y + 2)}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3 y^{2} - 3 y + 2 y - 2 + 9 (y + 2)}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 3 y$ und $2 y$ .

$\frac{3 y^{2} - y - 2 + 9 (y + 2)}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 y^{2} - y - 2 + 9 y + 9 \cdot 2}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{3 y^{2} - y - 2 + 9 y + 18}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$

Schritt 6.5

Addiere $- y$ und $9 y$ .

$\frac{3 y^{2} + 8 y - 2 + 18}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$

Schritt 6.6

Addiere $- 2$ und $18$ .

$\frac{3 y^{2} + 8 y + 16}{4 (y + 2) (y - 1) (y - 4)}$