Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1

Um $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 2

Um $\frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} \cdot \frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (2 x)}$ mit $\frac{1 + \cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)} \cdot \frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (2 x)}{1 + \cos (2 x)}$ mit $\frac{1 - \cos (2 x)}{1 - \cos (2 x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))$ um.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))} + \frac{\cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (2 x)) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) (1 - \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) \cdot 1 + \cos (2 x) (- \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) + \cos (2 x) (- \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Schritt 5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - \cos (2 x) \cos (2 x)}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Schritt 5.6

Multipliziere $- \cos (2 x) \cos (2 x)$ .

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Schritt 5.6.1

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Schritt 5.6.2

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x))}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Schritt 5.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - {\cos (2 x)}^{1 + 1}}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$

Schritt 5.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (2 x) + \cos (2 x) - \cos^{2} (2 x)}{(1 + \cos (2 x)) (1 - \cos (2 x))}$