Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (x) (1 + \sin (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} = 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ um.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (1 + \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) (1 + \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.2.1.4

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 2.5.2.1.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) - \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.2.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) - \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.2.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + \sin (x) - \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.2.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) - \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $\sin (x)$ von $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 0 - \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.4

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 2.5.4.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.5.5

Subtrahiere $\cos^{2} (x)$ von $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{0}{\cos (x) (1 + \sin (x))} = 0$

Schritt 2.6

Separiere Brüche.

$\frac{0}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = 0$

Schritt 2.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{0}{1 + \sin (x)} \sec (x) = 0$

Schritt 2.8

Dividiere $0$ durch $1 + \sin (x)$ .

$0 \sec (x) = 0$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$0 = 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.