Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)} + \frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{1 + \cos (3 t)}{\sin (3 t)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sin (3 t) = 0$

Schritt 2

Löse nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$3 t = \arcsin (0)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$3 t = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 t = 0$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 t = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 t}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 t}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{0}{3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$t = 0$

Schritt 2.4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$3 t = π - 0$

Schritt 2.5

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$3 t = π + 0$

Schritt 2.5.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$3 t = π$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 t = π$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 t = π$ durch $3$ .

$\frac{3 t}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 t}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{π}{3}$

Schritt 2.6

Ermittele die Periode von $\sin (3 t)$ .

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Schritt 2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.6.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 2.7

Die Periode der Funktion $\sin (3 t)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$t = \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{\sin (3 t)}{1 + \cos (3 t)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 + \cos (3 t) = 0$

Schritt 4

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (3 t) = - 1$

Schritt 4.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$3 t = \arccos (- 1)$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$3 t = π$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $3 t = π$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 t = π$ durch $3$ .

$\frac{3 t}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 t}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{π}{3}$

Schritt 4.5

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$3 t = 2 π - π$

Schritt 4.6

Löse nach $t$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$3 t = π$

Schritt 4.6.2

Teile jeden Ausdruck in $3 t = π$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 t = π$ durch $3$ .

$\frac{3 t}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 4.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 t}{3} = \frac{π}{3}$

Schritt 4.6.2.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{π}{3}$

Schritt 4.7

Ermittele die Periode von $\cos (3 t)$ .

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Schritt 4.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.7.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 4.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 4.8

Die Periode der Funktion $\cos (3 t)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${t | t = \frac{π n}{3}, t = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6