Trigonometrie Beispiele

$\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} = \cos^{4} (w)$

Schritt 1

Subtrahiere $\cos^{4} (w)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{- 1 + \cot^{2} (w) + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w)$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe $\cot (w)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{- 1 + {(\frac{\cos (w)}{\sin (w)})}^{2} + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\cos (w)}{\sin (w)}$ an.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \tan^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.3

Schreibe $\tan (w)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) {(\frac{\sin (w)}{\cos (w)})}^{2}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (w)}{\cos (w)}$ an.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \frac{\sin^{2} (w)}{\cos^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (w)$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \cos^{2} (w) \frac{\sin^{2} (w)}{\cos^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \sin^{2} (w)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.6

Bewege $\sin^{2} (w)$ .

$\frac{- 1 + \sin^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.8

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (w)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (w))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.10

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (w))$ als $- (1 - \sin^{2} (w))$ um.

$\frac{- (1 - \sin^{2} (w)) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.11

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cos^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.12

Faktorisiere $\cos^{2} (w)$ aus $- \cos^{2} (w) + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.12.1

Faktorisiere $\cos^{2} (w)$ aus $- \cos^{2} (w)$ heraus.

$\frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.12.2

Faktorisiere $\cos^{2} (w)$ aus $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ heraus.

$\frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin^{2} (w)}}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.12.3

Faktorisiere $\cos^{2} (w)$ aus $\cos^{2} (w) \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin^{2} (w)}$ heraus.

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + \frac{1}{\sin^{2} (w)})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.13

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.14

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)}$ als ${(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}$ um.

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1 + {(\frac{1}{\sin (w)})}^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.15

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{\cos^{2} (w) (- 1^{2} + {(\frac{1}{\sin (w)})}^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.16

Stelle $- 1^{2}$ und ${(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}$ um.

$\frac{\cos^{2} (w) ({(\frac{1}{\sin (w)})}^{2} - 1^{2})}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.1.17

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{1}{\sin (w)}$ und $b = 1$ .

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\csc^{2} (w)} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\csc (w)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{{(\frac{1}{\sin (w)})}^{2}} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (w)}$ an.

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (w)}} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)}{\frac{1}{\sin^{2} (w)}} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} + 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(\cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.5

Kombiniere $\cos^{2} (w)$ und $\frac{1}{\sin (w)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot 1) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $\cos^{2} (w)$ mit $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w)) (\frac{1}{\sin (w)} - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.7

Multipliziere $(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w)) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} (\frac{1}{\sin (w)} - 1) + \cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot \frac{1}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) (\frac{1}{\sin (w)} - 1)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot \frac{1}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.8.1.1

Kombinieren.

$(\frac{\cos^{2} (w) \cdot 1}{\sin (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8.1.2

Mutltipliziere $\cos^{2} (w)$ mit $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.8.1.3.1

Potenziere $\sin (w)$ mit $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{1} (w) \sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8.1.3.2

Potenziere $\sin (w)$ mit $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{1} (w) \sin^{1} (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{{\sin (w)}^{1 + 1}} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} \cdot - 1 + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8.1.4

Kombiniere $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ und $- 1$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{\cos^{2} (w) \cdot - 1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8.1.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (w)$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + \frac{- 1 \cdot \cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \frac{1}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8.1.7

Kombiniere $\cos^{2} (w)$ und $\frac{1}{\sin (w)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \cos^{2} (w) \cdot - 1) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8.1.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (w)$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} - 1 \cdot \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8.1.9

Schreibe $- 1 \cos^{2} (w)$ als $- \cos^{2} (w)$ um.

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} + \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)} - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Addiere $- \frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ und $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin (w)}$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} + 0 - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.8.3

Addiere $\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)}$ und $0$ .

$(\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} - \cos^{2} (w)) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} \sin^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin^{2} (w)$ .

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Schritt 2.1.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos^{2} (w)}{\sin^{2} (w)} \sin^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos^{2} (w) - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.11

Multipliziere mit $1$ .

$\cos^{2} (w) \cdot 1 - \cos^{2} (w) \sin^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.12

Faktorisiere $\cos^{2} (w)$ aus $- \cos^{2} (w) \sin^{2} (w)$ heraus.

$\cos^{2} (w) \cdot 1 + \cos^{2} (w) (- 1 \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.13

Faktorisiere $\cos^{2} (w)$ aus $\cos^{2} (w) \cdot 1 + \cos^{2} (w) (- 1 \sin^{2} (w))$ heraus.

$\cos^{2} (w) \cdot (1 - 1 \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.14

Schreibe $- 1 \sin^{2} (w)$ als $- \sin^{2} (w)$ um.

$\cos^{2} (w) \cdot (1 - \sin^{2} (w)) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.15

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos^{2} (w) \cdot \cos^{2} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.16

Multipliziere $\cos^{2} (w)$ mit $\cos^{2} (w)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.16.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (w)}^{2 + 2} - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.1.16.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\cos^{4} (w) - \cos^{4} (w) = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\cos^{4} (w)$ von $\cos^{4} (w)$ .

$0 = 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.