Trigonometrie Beispiele

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} = \csc (x) \cdot 1 + (\cos (x))$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\csc (x) \cdot 1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \csc (x) \cdot 1 = \cos (x)$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\cos (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \csc (x) \cdot 1 - \cos (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \csc (x) \cdot 1 - \cos (x)$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 - \cos (x) = 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.3

Um $- \frac{1}{\sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ mit $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ um.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 2.6.1.1.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.1.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.4

Multipliziere $- - \cos (x)$ .

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Schritt 2.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + 1 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.5

Stelle $\sin^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$\frac{- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.7

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.9

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ als $- (1 - \sin^{2} (x))$ um.

$\frac{- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.10

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.11

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x) + \cos (x)$ heraus.

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Schritt 2.6.1.11.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.11.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.1.11.3

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1$ heraus.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 1)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- \cos (x) + 1$ und $1 - \cos (x)$ .

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Schritt 2.6.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) = 0$

Schritt 2.7

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\cot (x) - \cos (x) = 0$

Schritt 3

Setze das Argument in $\cot (x)$ gleich $π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5