Trigonometrie Beispiele

$\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 3) = \log_{4} (- 7 x + 21)$

Schritt 1

Subtrahiere $\log_{4} (- 7 x + 21)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 3) - \log_{4} (- 7 x + 21) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 3) - \log_{4} (- 7 x + 21)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (x (x - 3)) - \log_{4} (- 7 x + 21) = 0$

Schritt 2.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x (x - 3)}{- 7 x + 21}) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $7$ aus $- 7 x + 21$ heraus.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7 x$ heraus.

$\log_{4} (\frac{x (x - 3)}{7 (- x) + 21}) = 0$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere $7$ aus $21$ heraus.

$\log_{4} (\frac{x (x - 3)}{7 (- x) + 7 (3)}) = 0$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (- x) + 7 (3)$ heraus.

$\log_{4} (\frac{x (x - 3)}{7 (- x + 3)}) = 0$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 3$ und $- x + 3$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\log_{4} (\frac{x (- 1 (- x) - 3)}{7 (- x + 3)}) = 0$

Schritt 2.4.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\log_{4} (\frac{x (- 1 (- x) - 1 (3))}{7 (- x + 3)}) = 0$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (3)$ heraus.

$\log_{4} (\frac{x (- 1 (- x + 3))}{7 (- x + 3)}) = 0$

Schritt 2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{4} (\frac{x (- 1 (- x + 3))}{7 (- x + 3)}) = 0$

Schritt 2.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\log_{4} (\frac{x \cdot (- 1)}{7}) = 0$

Schritt 2.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{4} (\frac{- 1 \cdot x}{7}) = 0$

Schritt 2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\log_{4} (- \frac{x}{7}) = 0$

Schritt 3

Setze das Argument in $\log_{4} (- \frac{x}{7})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- \frac{x}{7} \leq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x}{7} \leq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Teile jeden Term in $- \frac{x}{7} \leq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{x}{7}}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x}{7}}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.1.2.2

Dividiere $\frac{x}{7}$ durch $1$ .

$\frac{x}{7} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\frac{x}{7} \geq 0$

Schritt 4.2

Multipliziere beide Seiten mit $7$ .

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Schritt 4.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \geq 0 \cdot 7$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $7$ .

$x \geq 0$

Schritt 5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \geq 0$

$[0, \infty)$

Schritt 6