Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (11.5) = \cos (2 \cdot 45)$

Schritt 1

Subtrahiere $\cos (2 \cdot 45)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45)$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Der genau Wert von $\cos (112.5)$ ist $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe $112.5$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\cos^{2} (\frac{225}{2}) - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.1.3

Wechsele das $\pm$ zu $-$ , da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.1.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.1.4.2

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.1.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.1.4.6

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1.1.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.1.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.1.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.1.4.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1.4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.1.4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ an.

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ an.

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.5

Schreibe ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ als $2 - \sqrt{2}$ um.

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Schritt 2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ als ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.5.5

Vereinfache.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) - \cos (2 \cdot 45) = 0$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $45$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) - \cos (90) = 0$

Schritt 2.1.8

Der genau Wert von $\cos (90)$ ist $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) - 0 = 0$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) + 0 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $\frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ und $0$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (11.5) = 0$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.