Trigonometrie Beispiele

$\tan^{2} (x) + 9 \tan (x) + 1 = 0$

Schritt 1

Ersetze $\tan (x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + 9 (u) + 1 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 9$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $4$ von $81$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{77}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 9 \pm \sqrt{77}}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Schritt 6

Ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}, - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Schritt 7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}$

$\tan (x) = - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$

Schritt 8

Löse in $\tan (x) = - \frac{9 - \sqrt{77}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \frac{9 - \sqrt{77}}{2})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\arctan (- \frac{9 - \sqrt{77}}{2})$ .

$x = - 0.11204654$

Schritt 8.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 0.11204654 - (3.14159265)$

Schritt 8.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.4.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.11204654 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.11204654 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 8.4.2

Der resultierende Winkel von $3.0295461$ ist positiv und gleich $- 0.11204654 - (3.14159265)$ .

$x = 3.0295461$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 8.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.6.1

Addiere $π$ zu $- 0.11204654$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.11204654 + π$

Schritt 8.6.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 0.11204654$

Schritt 8.6.3

Subtrahiere $0.11204654$ von $3.14159265$ .

$3.0295461$

Schritt 8.6.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 3.0295461$

Schritt 8.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.0295461 + π n, 3.0295461 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Löse in $\tan (x) = - \frac{9 + \sqrt{77}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \frac{9 + \sqrt{77}}{2})$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\arctan (- \frac{9 + \sqrt{77}}{2})$ .

$x = - 1.45874978$

Schritt 9.3

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 1.45874978 - (3.14159265)$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 9.4.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.45874978 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.45874978 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 9.4.2

Der resultierende Winkel von $1.68284287$ ist positiv und gleich $- 1.45874978 - (3.14159265)$ .

$x = 1.68284287$

Schritt 9.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 9.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 9.6

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 9.6.1

Addiere $π$ zu $- 1.45874978$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.45874978 + π$

Schritt 9.6.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 1.45874978$

Schritt 9.6.3

Subtrahiere $1.45874978$ von $3.14159265$ .

$1.68284287$

Schritt 9.6.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 1.68284287$

Schritt 9.7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.68284287 + π n, 1.68284287 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Liste alle Lösungen auf.

$x = 3.0295461 + π n, 3.0295461 + π n, 1.68284287 + π n, 1.68284287 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 11.1

Führe $3.0295461 + π n$ und $3.0295461 + π n$ zu $3.0295461 + π n$ zusammen.

$x = 3.0295461 + π n, 1.68284287 + π n, 1.68284287 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11.2

Führe $1.68284287 + π n$ und $1.68284287 + π n$ zu $1.68284287 + π n$ zusammen.

$x = 3.0295461 + π n, 1.68284287 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$