Trigonometrie Beispiele

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $\sec^{4} (x)$ als ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\sec^{2} (x))}^{2} - \tan^{4} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\tan^{4} (x)$ als ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ um.

${(\sec^{2} (x))}^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2} = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \sec^{2} (x)$ und $b = \tan^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$(\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)) \cdot 1 = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)$ mit $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Schritt 2

Ersetze die $\sec^{2} (x)$ durch $1 + \tan^{2} (x)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(1 + \tan^{2} (x)) + \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Schritt 3

Addiere $\tan^{2} (x)$ und $\tan^{2} (x)$ .

$1 + 2 \tan^{2} (x) = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Schritt 4

Stelle das Polynom um.

$2 \tan^{2} (x) + 1 = 1 + 2 \tan^{2} (x)$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $\tan (x)$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 \tan^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan^{2} (x) = 1$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 \tan^{2} (x) + 1 - 2 \tan^{2} (x)$ .

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 \tan^{2} (x)$ von $2 \tan^{2} (x)$ .

$0 + 1 = 1$

Schritt 5.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1 = 1$

Schritt 6

Da $1 = 1$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$