Trigonometrie Beispiele

$\sec^{2} (x) + 4 \tan^{2} (x) = 1$

Schritt 1

Ersetze die $\sec^{2} (x)$ durch $1 + \tan^{2} (x)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$(1 + \tan^{2} (x)) + 4 \tan^{2} (x) = 1$

Schritt 2

Addiere $\tan^{2} (x)$ und $4 \tan^{2} (x)$ .

$1 + 5 \tan^{2} (x) = 1$

Schritt 3

Stelle das Polynom um.

$5 \tan^{2} (x) + 1 = 1$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $\tan (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 \tan^{2} (x) = 1 - 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$5 \tan^{2} (x) = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $5 \tan^{2} (x) = 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \tan^{2} (x) = 0$ durch $5$ .

$\frac{5 \tan^{2} (x)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \tan^{2} (x)}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\tan^{2} (x)$ durch $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{0}{5}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$\tan^{2} (x) = 0$

Schritt 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\tan (x) = \pm 0$

Schritt 7.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 8

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 9

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 10

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 11

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 12

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 12.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 12.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 12.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 13

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π n, π + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$