Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (A) - \cos^{2} (A) = 2 \cos^{2} (A) \tan^{2} (A) - 1$

Schritt 1

Ersetze die $\sin^{2} (A)$ durch $1 - \cos^{2} (A)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$(1 - \cos^{2} (A)) - \cos^{2} (A) = 2 \cos^{2} (A) \tan^{2} (A) - 1$

Schritt 2

Subtrahiere $\cos^{2} (A)$ von $- \cos^{2} (A)$ .

$1 - 2 \cos^{2} (A) = 2 \cos^{2} (A) \tan^{2} (A) - 1$

Schritt 3

Stelle das Polynom um.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 = 2 \cos^{2} (A) \tan^{2} (A) - 1$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $\tan (A)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 = 2 \cos^{2} (A) {(\frac{\sin (A)}{\cos (A)})}^{2} - 1$

Schritt 4.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ an.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 = 2 \cos^{2} (A) \frac{\sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A)} - 1$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (A)$ .

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere $\cos^{2} (A)$ aus $2 \cos^{2} (A)$ heraus.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 = \cos^{2} (A) \cdot 2 \frac{\sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A)} - 1$

Schritt 4.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 = \cos^{2} (A) \cdot 2 \frac{\sin^{2} (A)}{\cos^{2} (A)} - 1$

Schritt 4.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 = 2 \sin^{2} (A) - 1$

Schritt 5

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 \sin^{2} (A)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 - 2 \sin^{2} (A) = - 1$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \cos^{2} (A) + 1 - 2 \sin^{2} (A) + 1 = 0$

Schritt 6

Vereinfache $- 2 \cos^{2} (A) + 1 - 2 \sin^{2} (A) + 1$ .

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Schritt 6.1

Bewege $- 2 \sin^{2} (A)$ .

$- 2 \cos^{2} (A) - 2 \sin^{2} (A) + 1 + 1 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 \cos^{2} (A)$ heraus.

$- 2 (\cos^{2} (A)) - 2 \sin^{2} (A) + 1 + 1 = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 \sin^{2} (A)$ heraus.

$- 2 (\cos^{2} (A)) - 2 (\sin^{2} (A)) + 1 + 1 = 0$

Schritt 6.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (\cos^{2} (A)) - 2 (\sin^{2} (A))$ heraus.

$- 2 (\cos^{2} (A) + \sin^{2} (A)) + 1 + 1 = 0$

Schritt 6.5

Ordne Terme um.

$- 2 (\sin^{2} (A) + \cos^{2} (A)) + 1 + 1 = 0$

Schritt 6.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- 2 \cdot 1 + 1 + 1 = 0$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + 1 + 1 = 0$

Schritt 6.8

Addiere $- 2$ und $1$ .

$- 1 + 1 = 0$

Schritt 6.9

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0 = 0$

Schritt 7

Da $0 = 0$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $A$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$