Trigonometrie Beispiele

$\sin^{2} (2 x) - 2 \sin (2 x) = - 1$

Schritt 1

Ersetze $\sin (2 x)$ durch $u$ .

${(u)}^{2} - 2 u = - 1$

Schritt 2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 4

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 6

Ersetze $u$ durch $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) = 1$

Schritt 7

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (1)$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 10

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 11.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 11.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 11.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.4.1

Stelle $π$ und $2$ um.

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 11.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Schritt 11.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 11.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Schritt 11.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 11.2.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 12

Ermittele die Periode von $\sin (2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 12.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 12.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 13

Die Periode der Funktion $\sin (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$