Trigonometrie Beispiele

$\log_{9} (x + 5) - \log_{9} (x - 5) = - 1$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{9} (\frac{x + 5}{x - 5}) = - 1$

Schritt 2

Schreibe $\log_{9} (\frac{x + 5}{x - 5}) = - 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$9^{- 1} = \frac{x + 5}{x - 5}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 5 = 9^{- 1} (x - 5)$

Schritt 4

Vereinfache $9^{- 1} (x - 5)$ .

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 5 = \frac{1}{9} (x - 5)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 5 = \frac{1}{9} x + \frac{1}{9} \cdot - 5$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $x$ .

$x + 5 = \frac{x}{9} + \frac{1}{9} \cdot - 5$

Schritt 4.4

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $- 5$ .

$x + 5 = \frac{x}{9} + \frac{- 5}{9}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x + 5 = \frac{x}{9} - \frac{5}{9}$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $\frac{x}{9}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 5 - \frac{x}{9} = - \frac{5}{9}$

Schritt 5.2

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$x \cdot \frac{9}{9} - \frac{x}{9} + 5 = - \frac{5}{9}$

Schritt 5.3

Kombiniere $x$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{x \cdot 9}{9} - \frac{x}{9} + 5 = - \frac{5}{9}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot 9 - x}{9} + 5 = - \frac{5}{9}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $x$ von $x \cdot 9$ .

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Schritt 5.5.1

Stelle $x$ und $9$ um.

$\frac{9 \cdot x - x}{9} + 5 = - \frac{5}{9}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $x$ von $9 \cdot x$ .

$\frac{8 \cdot x}{9} + 5 = - \frac{5}{9}$

$\frac{8 x}{9} + 5 = - \frac{5}{9}$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{8 x}{9} = - \frac{5}{9} - 5$

Schritt 6.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{8 x}{9} = - \frac{5}{9} - 5 \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 6.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{8 x}{9} = - \frac{5}{9} + \frac{- 5 \cdot 9}{9}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 x}{9} = \frac{- 5 - 5 \cdot 9}{9}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $9$ .

$\frac{8 x}{9} = \frac{- 5 - 45}{9}$

Schritt 6.5.2

Subtrahiere $45$ von $- 5$ .

$\frac{8 x}{9} = \frac{- 50}{9}$

Schritt 6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{8 x}{9} = - \frac{50}{9}$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten mit $9$ .

$\frac{8 x}{9} \cdot 9 = - \frac{50}{9} \cdot 9$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{9} \cdot 9 = - \frac{50}{9} \cdot 9$

Schritt 8.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$8 x = - \frac{50}{9} \cdot 9$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 8.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{50}{9}$ in den Zähler.

$8 x = \frac{- 50}{9} \cdot 9$

Schritt 8.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x = \frac{- 50}{9} \cdot 9$

Schritt 8.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$8 x = - 50$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 50$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 50$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 50}{8}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 50}{8}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 50}{8}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 50$ und $8$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 50$ heraus.

$x = \frac{2 (- 25)}{8}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 25}{2 \cdot 4}$

Schritt 9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 25}{2 \cdot 4}$

Schritt 9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 25}{4}$

Schritt 9.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{25}{4}$

Schritt 10

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{9} (x + 5) - \log_{9} (x - 5) = - 1$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$