Trigonometrie Beispiele

$\log_{8} (5 x) - \log_{8} (13 + \sqrt{x}) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{8} (\frac{5 x}{13 + \sqrt{x}}) = 2$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{5 x}{13 + \sqrt{x}}$ mit $\frac{13 - \sqrt{x}}{13 - \sqrt{x}}$ .

$\log_{8} (\frac{5 x}{13 + \sqrt{x}} \cdot \frac{13 - \sqrt{x}}{13 - \sqrt{x}}) = 2$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{5 x}{13 + \sqrt{x}}$ mit $\frac{13 - \sqrt{x}}{13 - \sqrt{x}}$ .

$\log_{8} (\frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{(13 + \sqrt{x}) (13 - \sqrt{x})}) = 2$

Schritt 1.4

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\log_{8} (\frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{169 - 13 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 13 - {\sqrt{x}}^{2}}) = 2$

Schritt 1.5

Vereinfache.

$\log_{8} (\frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{- x + 169}) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log_{8} (\frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{- x + 169}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$8^{2} = \frac{5 x (13 - \sqrt{x})}{- x + 169}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$5 x (13 - \sqrt{x}) = 8^{2} (- x + 169)$

Schritt 4

Vereinfache $8^{2} (- x + 169)$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$5 x (13 - \sqrt{x}) = 64 (- x + 169)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x (13 - \sqrt{x}) = 64 (- x) + 64 \cdot 169$

Schritt 4.3

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$5 x (13 - \sqrt{x}) = - 64 x + 64 \cdot 169$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $64$ mit $169$ .

$5 x (13 - \sqrt{x}) = - 64 x + 10816$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $64 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x (13 - \sqrt{x}) + 64 x = 10816$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x \cdot 13 + 5 x (- \sqrt{x}) + 64 x = 10816$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $13$ mit $5$ .

$65 x + 5 x (- \sqrt{x}) + 64 x = 10816$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$65 x - 5 x \sqrt{x} + 64 x = 10816$

Schritt 5.3

Addiere $65 x$ und $64 x$ .

$- 5 x \sqrt{x} + 129 x = 10816$

Schritt 6

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x \sqrt{x} + 129 x$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x \sqrt{x}$ heraus.

$x (- 5 \sqrt{x}) + 129 x = 10816$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x$ aus $129 x$ heraus.

$x (- 5 \sqrt{x}) + x \cdot 129 = 10816$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 5 \sqrt{x}) + x \cdot 129$ heraus.

$x (- 5 \sqrt{x} + 129) = 10816$

Schritt 7

Löse nach $- 5 \sqrt{x}$ auf.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (- 5 \sqrt{x} + 129) = 10816$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x (- 5 \sqrt{x} + 129) = 10816$ durch $x$ .

$\frac{x (- 5 \sqrt{x} + 129)}{x} = \frac{10816}{x}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 5 \sqrt{x} + 129)}{x} = \frac{10816}{x}$

Schritt 7.1.2.1.2

Dividiere $- 5 \sqrt{x} + 129$ durch $1$ .

$- 5 \sqrt{x} + 129 = \frac{10816}{x}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $129$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 \sqrt{x} = \frac{10816}{x} - 129$

Schritt 8

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 5 \sqrt{x})}^{2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Schritt 9

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache ${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Schritt 9.2.1.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Schritt 9.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Schritt 9.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Schritt 9.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$25 x^{1} = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Schritt 9.2.1.4

Vereinfache.

$25 x = {(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache ${(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$ .

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Schritt 9.3.1.1

Schreibe ${(\frac{10816}{x} - 129)}^{2}$ als $(\frac{10816}{x} - 129) (\frac{10816}{x} - 129)$ um.

$25 x = (\frac{10816}{x} - 129) (\frac{10816}{x} - 129)$

Schritt 9.3.1.2

Multipliziere $(\frac{10816}{x} - 129) (\frac{10816}{x} - 129)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x = \frac{10816}{x} (\frac{10816}{x} - 129) - 129 (\frac{10816}{x} - 129)$

Schritt 9.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x = \frac{10816}{x} \cdot \frac{10816}{x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 (\frac{10816}{x} - 129)$

Schritt 9.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x = \frac{10816}{x} \cdot \frac{10816}{x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Schritt 9.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.3.1.1

Multipliziere $\frac{10816}{x} \cdot \frac{10816}{x}$ .

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Schritt 9.3.1.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{10816}{x}$ mit $\frac{10816}{x}$ .

$25 x = \frac{10816 \cdot 10816}{x \cdot x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Schritt 9.3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $10816$ mit $10816$ .

$25 x = \frac{116985856}{x \cdot x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Schritt 9.3.1.3.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{1} x} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Schritt 9.3.1.3.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{1} x^{1}} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Schritt 9.3.1.3.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 x = \frac{116985856}{x^{1 + 1}} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Schritt 9.3.1.3.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{10816}{x} \cdot - 129 - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Schritt 9.3.1.3.1.2

Multipliziere $\frac{10816}{x} \cdot - 129$ .

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Schritt 9.3.1.3.1.2.1

Kombiniere $\frac{10816}{x}$ und $- 129$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{10816 \cdot - 129}{x} - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Schritt 9.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $10816$ mit $- 129$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{- 1395264}{x} - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Schritt 9.3.1.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} - 129 \frac{10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Schritt 9.3.1.3.1.4

Multipliziere $- 129 \frac{10816}{x}$ .

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Schritt 9.3.1.3.1.4.1

Kombiniere $- 129$ und $\frac{10816}{x}$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} + \frac{- 129 \cdot 10816}{x} - 129 \cdot - 129$

Schritt 9.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 129$ mit $10816$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} + \frac{- 1395264}{x} - 129 \cdot - 129$

Schritt 9.3.1.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} - \frac{1395264}{x} - 129 \cdot - 129$

Schritt 9.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 129$ mit $- 129$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{1395264}{x} - \frac{1395264}{x} + 16641$

Schritt 9.3.1.3.2

Subtrahiere $\frac{1395264}{x}$ von $- \frac{1395264}{x}$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - 2 \frac{1395264}{x} + 16641$

Schritt 9.3.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.4.1

Multipliziere $- 2 \frac{1395264}{x}$ .

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Schritt 9.3.1.4.1.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1395264}{x}$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{- 2 \cdot 1395264}{x} + 16641$

Schritt 9.3.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1395264$ .

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} + \frac{- 2790528}{x} + 16641$

Schritt 9.3.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{2790528}{x} + 16641$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 10.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, x, 1$

Schritt 10.1.2

Since $1, x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Schritt 10.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 10.1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 10.1.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 10.1.6

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 10.1.7

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 10.1.8

Das kgV von $x^{2}, x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x$

Schritt 10.1.9

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2}$

Schritt 10.2

Multipliziere jeden Term in $25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{2790528}{x} + 16641$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 10.2.1

Multipliziere jeden Term in $25 x = \frac{116985856}{x^{2}} - \frac{2790528}{x} + 16641$ mit $x^{2}$ .

$25 x \cdot x^{2} = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.2.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$25 (x^{2} x) = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Schritt 10.2.2.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 10.2.2.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$25 (x^{2} x^{1}) = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Schritt 10.2.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 x^{2 + 1} = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Schritt 10.2.2.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$25 x^{3} = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 x^{3} = \frac{116985856}{x^{2}} x^{2} - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Schritt 10.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$25 x^{3} = 116985856 - \frac{2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Schritt 10.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 10.2.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2790528}{x}$ in den Zähler.

$25 x^{3} = 116985856 + \frac{- 2790528}{x} x^{2} + 16641 x^{2}$

Schritt 10.2.3.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$25 x^{3} = 116985856 + \frac{- 2790528}{x} (x \cdot x) + 16641 x^{2}$

Schritt 10.2.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 x^{3} = 116985856 + \frac{- 2790528}{x} (x \cdot x) + 16641 x^{2}$

Schritt 10.2.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$25 x^{3} = 116985856 - 2790528 x + 16641 x^{2}$

Schritt 10.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 10.3.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.3.1.1

Subtrahiere $116985856$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 x^{3} - 116985856 = - 2790528 x + 16641 x^{2}$

Schritt 10.3.1.2

Addiere $2790528 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$25 x^{3} - 116985856 + 2790528 x = 16641 x^{2}$

Schritt 10.3.1.3

Subtrahiere $16641 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 x^{3} - 116985856 + 2790528 x - 16641 x^{2} = 0$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.3.2.1

Stelle die Terme um.

$25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856 = 0$

Schritt 10.3.2.2

Faktorisiere $25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 10.3.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 116985856, \pm 2, \pm 58492928, \pm 4, \pm 29246464, \pm 8, \pm 14623232, \pm 13, \pm 8998912, \pm 16, \pm 7311616, \pm 26, \pm 4499456, \pm 32, \pm 3655808, \pm 52, \pm 2249728, \pm 64, \pm 1827904, \pm 104, \pm 1124864, \pm 128, \pm 913952, \pm 169, \pm 692224, \pm 208, \pm 562432, \pm 256, \pm 456976, \pm 338, \pm 346112, \pm 416, \pm 281216, \pm 512, \pm 228488, \pm 676, \pm 173056, \pm 832, \pm 140608, \pm 1024, \pm 114244, \pm 1352, \pm 86528, \pm 1664, \pm 70304, \pm 2048, \pm 57122, \pm 2197, \pm 53248, \pm 2704, \pm 43264, \pm 3328, \pm 35152, \pm 4096, \pm 28561, \pm 4394, \pm 26624, \pm 5408, \pm 21632, \pm 6656, \pm 17576, \pm 8788, \pm 13312, \pm 10816$

$q = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

Schritt 10.3.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.04, \pm 0.2, \pm 116985856, \pm 4679434.24, \pm 23397171.2, \pm 2, \pm 0.08, \pm 0.4, \pm 58492928, \pm 2339717.12, \pm 11698585.6, \pm 4, \pm 0.16, \pm 0.8, \pm 29246464, \pm 1169858.56, \pm 5849292.8, \pm 8, \pm 0.32, \pm 1.6, \pm 14623232, \pm 584929.28, \pm 2924646.4, \pm 13, \pm 0.52, \pm 2.6, \pm 8998912, \pm 359956.48, \pm 1799782.4, \pm 16, \pm 0.64, \pm 3.2, \pm 7311616, \pm 292464.64, \pm 1462323.2, \pm 26, \pm 1.04, \pm 5.2, \pm 4499456, \pm 179978.24, \pm 899891.2, \pm 32, \pm 1.28, \pm 6.4, \pm 3655808, \pm 146232.32, \pm 731161.6, \pm 52, \pm 2.08, \pm 10.4, \pm 2249728, \pm 89989.12, \pm 449945.6, \pm 64, \pm 2.56, \pm 12.8, \pm 1827904, \pm 73116.16, \pm 365580.8, \pm 104, \pm 4.16, \pm 20.8, \pm 1124864, \pm 44994.56, \pm 224972.8, \pm 128, \pm 5.12, \pm 25.6, \pm 913952, \pm 36558.08, \pm 182790.4, \pm 169, \pm 6.76, \pm 33.8, \pm 692224, \pm 27688.96, \pm 138444.8, \pm 208, \pm 8.32, \pm 41.6, \pm 562432, \pm 22497.28, \pm 112486.4, \pm 256, \pm 10.24, \pm 51.2, \pm 456976, \pm 18279.04, \pm 91395.2, \pm 338, \pm 13.52, \pm 67.6, \pm 346112, \pm 13844.48, \pm 69222.4, \pm 416, \pm 16.64, \pm 83.2, \pm 281216, \pm 11248.64, \pm 56243.2, \pm 512, \pm 20.48, \pm 102.4, \pm 228488, \pm 9139.52, \pm 45697.6, \pm 676, \pm 27.04, \pm 135.2, \pm 173056, \pm 6922.24, \pm 34611.2, \pm 832, \pm 33.28, \pm 166.4, \pm 140608, \pm 5624.32, \pm 28121.6, \pm 1024, \pm 40.96, \pm 204.8, \pm 114244, \pm 4569.76, \pm 22848.8, \pm 1352, \pm 54.08, \pm 270.4, \pm 86528, \pm 3461.12, \pm 17305.6, \pm 1664, \pm 66.56, \pm 332.8, \pm 70304, \pm 2812.16, \pm 14060.8, \pm 2048, \pm 81.92, \pm 409.6, \pm 57122, \pm 2284.88, \pm 11424.4, \pm 2197, \pm 87.88, \pm 439.4, \pm 53248, \pm 2129.92, \pm 10649.6, \pm 2704, \pm 108.16, \pm 540.8, \pm 43264, \pm 1730.56, \pm 8652.8, \pm 3328, \pm 133.12, \pm 665.6, \pm 35152, \pm 1406.08, \pm 7030.4, \pm 4096, \pm 163.84, \pm 819.2, \pm 28561, \pm 1142.44, \pm 5712.2, \pm 4394, \pm 175.76, \pm 878.8, \pm 26624, \pm 1064.96, \pm 5324.8, \pm 5408, \pm 216.32, \pm 1081.6, \pm 21632, \pm 865.28, \pm 4326.4, \pm 6656, \pm 266.24, \pm 1331.2, \pm 17576, \pm 703.04, \pm 3515.2, \pm 8788, \pm 351.52, \pm 1757.6, \pm 13312, \pm 532.48, \pm 2662.4, \pm 10816, \pm 432.64, \pm 2163.2$

Schritt 10.3.2.2.3

Setze $64$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $64$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 10.3.2.2.3.1

Setze $64$ in das Polynom ein.

$25 \cdot 64^{3} - 16641 \cdot 64^{2} + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Schritt 10.3.2.2.3.2

Potenziere $64$ mit $3$ .

$25 \cdot 262144 - 16641 \cdot 64^{2} + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Schritt 10.3.2.2.3.3

Mutltipliziere $25$ mit $262144$ .

$6553600 - 16641 \cdot 64^{2} + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Schritt 10.3.2.2.3.4

Potenziere $64$ mit $2$ .

$6553600 - 16641 \cdot 4096 + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Schritt 10.3.2.2.3.5

Mutltipliziere $- 16641$ mit $4096$ .

$6553600 - 68161536 + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Schritt 10.3.2.2.3.6

Subtrahiere $68161536$ von $6553600$ .

$- 61607936 + 2790528 \cdot 64 - 116985856$

Schritt 10.3.2.2.3.7

Mutltipliziere $2790528$ mit $64$ .

$- 61607936 + 178593792 - 116985856$

Schritt 10.3.2.2.3.8

Addiere $- 61607936$ und $178593792$ .

$116985856 - 116985856$

Schritt 10.3.2.2.3.9

Subtrahiere $116985856$ von $116985856$ .

$0$

Schritt 10.3.2.2.4

Da $64$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 64$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856}{x - 64}$

Schritt 10.3.2.2.5

Dividiere $25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856$ durch $x - 64$ .

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Schritt 10.3.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$64$

$25 x^{3}$

$16641 x^{2}$

$2790528 x$

$116985856$

Schritt 10.3.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $25 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$25 x^{2}$
	$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$

Schritt 10.3.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			+	$25 x^{3}$	-	$1600 x^{2}$

Schritt 10.3.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $25 x^{3} - 1600 x^{2}$

				$25 x^{2}$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$

Schritt 10.3.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$

Schritt 10.3.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$25 x^{2}$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$

Schritt 10.3.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 15041 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$

Schritt 10.3.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					-	$15041 x^{2}$	+	$962624 x$

Schritt 10.3.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 15041 x^{2} + 962624 x$

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$

Schritt 10.3.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$

Schritt 10.3.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$

Schritt 10.3.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $1827904 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$	+	$1827904$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$

Schritt 10.3.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$	+	$1827904$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$

Schritt 10.3.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $1827904 x - 116985856$

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$	+	$1827904$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$
							-	$1827904 x$	+	$116985856$

Schritt 10.3.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$25 x^{2}$	-	$15041 x$	+	$1827904$
$x$	-	$64$		$25 x^{3}$	-	$16641 x^{2}$	+	$2790528 x$	-	$116985856$
			-	$25 x^{3}$	+	$1600 x^{2}$
					-	$15041 x^{2}$	+	$2790528 x$
					+	$15041 x^{2}$	-	$962624 x$
							+	$1827904 x$	-	$116985856$
							-	$1827904 x$	+	$116985856$
										$0$

Schritt 10.3.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$25 x^{2} - 15041 x + 1827904$

Schritt 10.3.2.2.6

Schreibe $25 x^{3} - 16641 x^{2} + 2790528 x - 116985856$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 64) (25 x^{2} - 15041 x + 1827904) = 0$

Schritt 10.3.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 10.3.2.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 10.3.2.3.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 25 \cdot 1827904 = 45697600$ und deren Summe gleich $b = - 15041$ ist.

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Schritt 10.3.2.3.1.1.1

Faktorisiere $- 15041$ aus $- 15041 x$ heraus.

$(x - 64) (25 x^{2} - 15041 x + 1827904) = 0$

Schritt 10.3.2.3.1.1.2

Schreibe $- 15041$ um als $- 4225$ plus $- 10816$

$(x - 64) (25 x^{2} + (- 4225 - 10816) x + 1827904) = 0$

Schritt 10.3.2.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 64) (25 x^{2} - 4225 x - 10816 x + 1827904) = 0$

Schritt 10.3.2.3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.3.2.3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 64) ((25 x^{2} - 4225 x) - 10816 x + 1827904) = 0$

Schritt 10.3.2.3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 64) (25 x (x - 169) - 10816 (x - 169)) = 0$

Schritt 10.3.2.3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 169$ .

$(x - 64) ((x - 169) (25 x - 10816)) = 0$

Schritt 10.3.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 64) (x - 169) (25 x - 10816) = 0$

Schritt 10.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 64 = 0$

$x - 169 = 0$

$25 x - 10816 = 0$

Schritt 10.3.4

Setze $x - 64$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.3.4.1

Setze $x - 64$ gleich $0$ .

$x - 64 = 0$

Schritt 10.3.4.2

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 64$

Schritt 10.3.5

Setze $x - 169$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.3.5.1

Setze $x - 169$ gleich $0$ .

$x - 169 = 0$

Schritt 10.3.5.2

Addiere $169$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 169$

Schritt 10.3.6

Setze $25 x - 10816$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.3.6.1

Setze $25 x - 10816$ gleich $0$ .

$25 x - 10816 = 0$

Schritt 10.3.6.2

Löse $25 x - 10816 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.3.6.2.1

Addiere $10816$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$25 x = 10816$

Schritt 10.3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $25 x = 10816$ durch $25$ und vereinfache.

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Schritt 10.3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $25 x = 10816$ durch $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{10816}{25}$

Schritt 10.3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 10.3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 x}{25} = \frac{10816}{25}$

Schritt 10.3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10816}{25}$

Schritt 10.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 64) (x - 169) (25 x - 10816) = 0$ wahr machen.

$x = 64, 169, \frac{10816}{25}$

Schritt 11

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{8} (5 x) - \log_{8} (13 + \sqrt{x}) = 2$ nicht erfüllen.

$x = \frac{10816}{25}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{10816}{25}$

Dezimalform:

$x = 432.64$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 432 \frac{16}{25}$