Trigonometrie Beispiele

$0 = 1 - 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $1 - 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = 0$ um.

$1 - 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = - 1$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6})}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (- 3 x + \frac{π}{6})}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sin (- 3 x + \frac{π}{6})$ durch $1$ .

$\sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (- 3 x + \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$

Schritt 4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$- 3 x + \frac{π}{6} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$- 3 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{6}$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $\frac{π}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = \frac{π}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 x = \frac{π - π}{6}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$- 3 x = \frac{0}{6}$

Schritt 6.4

Dividiere $0$ durch $6$ .

$- 3 x = 0$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 0$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 0$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 3}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $0$ durch $- 3$ .

$x = 0$

Schritt 8

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$- 3 x + \frac{π}{6} = π - \frac{π}{6}$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 9.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$- 3 x + \frac{π}{6} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 9.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$- 3 x + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 9.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 x + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 9.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$- 3 x + \frac{π}{6} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 9.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$- 3 x + \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 9.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 3 x = \frac{5 π - π}{6}$

Schritt 9.2.3

Subtrahiere $π$ von $5 π$ .

$- 3 x = \frac{4 π}{6}$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 9.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$- 3 x = \frac{2 (2 π)}{6}$

Schritt 9.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- 3 x = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Schritt 9.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 x = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 9.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = \frac{2 π}{3}$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = \frac{2 π}{3}$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{- 3}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 9.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{- 3}$

Schritt 9.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{- 3}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

Schritt 9.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{2 π}{3} (- \frac{1}{3})$

Schritt 9.3.3.3

Multipliziere $\frac{2 π}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Schritt 9.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = - \frac{2 π}{3 \cdot 3}$

Schritt 9.3.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = - \frac{2 π}{9}$

Schritt 10

Ermittele die Periode von $\sin (- 3 x + \frac{π}{6})$ .

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Schritt 10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.2

Ersetze $b$ durch $- 3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| - 3 |}$

Schritt 10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 3$ und $0$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 11

Addiere $\frac{2 π}{3}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 11.1

Addiere $\frac{2 π}{3}$ zu $- \frac{2 π}{9}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{2 π}{9} + \frac{2 π}{3}$

Schritt 11.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{9}$

Schritt 11.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{2 π}{9}$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{9} - \frac{2 π}{9}$

Schritt 11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{9}$

Schritt 11.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 π - 2 π}{9}$

Schritt 11.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $6 π$ .

$\frac{4 π}{9}$

Schritt 11.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{4 π}{9}$

Schritt 12

Die Periode der Funktion $\sin (- 3 x + \frac{π}{6})$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$