Trigonometrie Beispiele

$16 x^{2} + 4 y^{2} - 8 y - 12 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - 8 y - 12 = - 4 y^{2}$

Schritt 1.2

Addiere $8 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - 12 = - 4 y^{2} + 8 y$

Schritt 1.3

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} = - 4 y^{2} + 8 y + 12$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $16 x^{2} = - 4 y^{2} + 8 y + 12$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $16 x^{2} = - 4 y^{2} + 8 y + 12$ durch $16$ .

$\frac{16 x^{2}}{16} = \frac{- 4 y^{2}}{16} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 x^{2}}{16} = \frac{- 4 y^{2}}{16} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4 y^{2}}{16} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $16$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y^{2}$ heraus.

$x^{2} = \frac{4 (- y^{2})}{16} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$x^{2} = \frac{4 (- y^{2})}{4 (4)} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{4 (- y^{2})}{4 \cdot 4} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Schritt 2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Schritt 2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{16} + \frac{12}{16}$

Schritt 2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $16$ .

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Schritt 2.3.1.3.1

Faktorisiere $8$ aus $8 y$ heraus.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 (y)}{16} + \frac{12}{16}$

Schritt 2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{8 \cdot 2} + \frac{12}{16}$

Schritt 2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{8 \cdot 2} + \frac{12}{16}$

Schritt 2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{12}{16}$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $16$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{4 (3)}{16}$

Schritt 2.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{3}{4}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{3}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{3}{4}}$ .

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Schritt 4.1

Um $\frac{y}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}$

Schritt 4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{y}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot 2}{4} + \frac{3}{4}}$

Schritt 4.3

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + y \cdot 2}{4} + \frac{3}{4}}$

Schritt 4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + y \cdot 2 + 3}{4}}$

Schritt 4.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + 2 y + 3}{4}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + 2 (y) + 3}{4}}$

Schritt 4.5.1.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} + (- 1 + 3) y + 3}{4}}$

Schritt 4.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 1 y + 3 y + 3}{4}}$

Schritt 4.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x = \pm \sqrt{\frac{(- y^{2} - 1 y) + 3 y + 3}{4}}$

Schritt 4.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x = \pm \sqrt{\frac{y (- y - 1) - 3 (- y - 1)}{4}}$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- y - 1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{(- y - 1) (y - 3)}{4}}$

Schritt 4.6

Schreibe $\frac{(- y - 1) (y - 3)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((- y - 1) (y - 3))$ um.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(- y - 1) (y - 3)$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((- y - 1) (y - 3))}{4}}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((- y - 1) (y - 3))}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((- y - 1) (y - 3))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((- y - 1) (y - 3))}$

Schritt 4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(- y - 1) (y - 3)}$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{(- y - 1) (y - 3)}}{2}$