Trigonometrie Beispiele

$3 \sqrt{2 \sin (x) + 2} = - 1$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(3 \sqrt{2 \sin (x) + 2})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 \sin (x) + 2}$ als ${(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(3 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$3^{2} {({(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$9 {({(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 {(2 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 {(2 \sin (x) + 2)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache.

$9 (2 \sin (x) + 2) = {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (2 \sin (x)) + 9 \cdot 2 = {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 2.2.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$18 \sin (x) + 9 \cdot 2 = {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$18 \sin (x) + 18 = {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$18 \sin (x) + 18 = 1$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 \sin (x) = 1 - 18$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $18$ von $1$ .

$18 \sin (x) = - 17$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $18 \sin (x) = - 17$ durch $18$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $18 \sin (x) = - 17$ durch $18$ .

$\frac{18 \sin (x)}{18} = \frac{- 17}{18}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 \sin (x)}{18} = \frac{- 17}{18}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 17}{18}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (x) = - \frac{17}{18}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{17}{18})$

Schritt 3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.1

Berechne $\arcsin (- \frac{17}{18})$ .

$x = - 1.23590016$

Schritt 3.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) + 1.23590016 + 3.14159265$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 1.23590016 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 1.23590016 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 3.6.2

Der resultierende Winkel von $4.37749282$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 1.23590016 + 3.14159265$ .

$x = 4.37749282$

Schritt 3.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.8.1

Addiere $2 π$ zu $- 1.23590016$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1.23590016 + 2 π$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $1.23590016$ von $2 π$ .

$5.04728513$

Schritt 3.8.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 5.04728513$

Schritt 3.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 4.37749282 + 2 π n, 5.04728513 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $3 \sqrt{2 \sin (x) + 2} = - 1$ nicht erfüllen.

Keine Lösung