Trigonometrie Beispiele

$3 \cos (y) = 2 \sec (y)$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (y) = 2 \sec (y)$ durch $3 \cos (y)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cos (y) = 2 \sec (y)$ durch $3 \cos (y)$ .

$\frac{3 \cos (y)}{3 \cos (y)} = \frac{2 \sec (y)}{3 \cos (y)}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cos (y)}{3 \cos (y)} = \frac{2 \sec (y)}{3 \cos (y)}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sec (y)}{3 \cos (y)}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sec (y)}{3 \cos (y)}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{2 \sec (y)}{3 \cos (y)}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Separiere Brüche.

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sec (y)}{\cos (y)}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\cos (y)}$

Schritt 1.3.3

Schreibe $\frac{\frac{1}{\cos (y)}}{\cos (y)}$ als ein Produkt um.

$1 = \frac{2}{3} (\frac{1}{\cos (y)} \cdot \frac{1}{\cos (y)})$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (y)}$ mit $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (y) \cos (y)}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (y) \cos (y)}$

Schritt 1.3.5.2

Potenziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)}$

Schritt 1.3.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{\cos (y)}^{1 + 1}}$

Schritt 1.3.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)}$

Schritt 1.3.6

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.1

Kombinieren.

$1 = \frac{2 \cdot 1}{3 \cos^{2} (y)}$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$1 = \frac{2}{3 \cos^{2} (y)}$

Schritt 1.3.7

Multipliziere mit $1$ .

$1 = \frac{2}{3 (\cos^{2} (y) \cdot 1)}$

Schritt 1.3.8

Separiere Brüche.

$1 = \frac{2}{3 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (y)}$

Schritt 1.3.9

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ nach $\sec^{2} (y)$ um.

$1 = \frac{2}{3 \cdot (1)} \sec^{2} (y)$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 = \frac{2}{3} \sec^{2} (y)$

Schritt 1.3.11

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\sec^{2} (y)$ .

$1 = \frac{2 \sec^{2} (y)}{3}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 \sec^{2} (y)}{3} = 1$ um.

$\frac{2 \sec^{2} (y)}{3} = 1$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \sec^{2} (y)}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \sec^{2} (y)}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Kombinieren.

$\frac{3 (2 \sec^{2} (y))}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 \sec^{2} (y))}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sec^{2} (y)}{2} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 4.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sec^{2} (y)}{2} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 4.1.1.3.2

Dividiere $\sec^{2} (y)$ durch $1$ .

$\sec^{2} (y) = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\sec^{2} (y) = \frac{3}{2}$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (y) = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{2}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ um.

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 6.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\sec (y) = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sec (y) = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sec (y) = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sec (y) = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 8

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $y$ aufzulösen.

$\sec (y) = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\sec (y) = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Schritt 9

Löse in $\sec (y) = \frac{\sqrt{6}}{2}$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Sekans zu ziehen.

$y = arcsec (\frac{\sqrt{6}}{2})$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Berechne $arcsec (\frac{\sqrt{6}}{2})$ .

$y = 0.6154797$

Schritt 9.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$y = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Schritt 9.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 (3.14159265) - 0.6154797$

Schritt 9.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 0.6154797$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$y = 6.2831853 - 0.6154797$

Schritt 9.4.2.2

Subtrahiere $0.6154797$ von $6.2831853$ .

$y = 5.66770559$

Schritt 9.5

Ermittele die Periode von $\sec (y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9.6

Die Periode der Funktion $\sec (y)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$y = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Löse in $\sec (y) = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Sekans zu ziehen.

$y = arcsec (- \frac{\sqrt{6}}{2})$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Berechne $arcsec (- \frac{\sqrt{6}}{2})$ .

$y = 2.52611294$

Schritt 10.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$y = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Schritt 10.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 (3.14159265) - 2.52611294$

Schritt 10.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 2.52611294$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$y = 6.2831853 - 2.52611294$

Schritt 10.4.2.2

Subtrahiere $2.52611294$ von $6.2831853$ .

$y = 3.75707236$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\sec (y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10.6

Die Periode der Funktion $\sec (y)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$y = 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Liste alle Lösungen auf.

$y = 0.6154797 + 2 π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n, 3.75707236 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Fasse die Lösungen zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Führe $0.6154797 + 2 π n$ und $3.75707236 + 2 π n$ zu $0.6154797 + π n$ zusammen.

$y = 0.6154797 + π n, 5.66770559 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12.2

Führe $5.66770559 + 2 π n$ und $2.52611294 + 2 π n$ zu $2.52611294 + π n$ zusammen.

$y = 0.6154797 + π n, 2.52611294 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$