Trigonometrie Beispiele

$30 = 11 (\frac{π}{3} \cdot (\cos (x) + 1)) + 36$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $11 (\frac{π}{3}) \cdot (\cos (x) + 1) + 36 = 30$ um.

$11 (\frac{π}{3}) \cdot (\cos (x) + 1) + 36 = 30$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Kombiniere $11$ und $\frac{π}{3}$ .

$\frac{11 π}{3} \cdot (\cos (x) + 1) + 36 = 30$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{11 π}{3} \cos (x) + \frac{11 π}{3} \cdot 1 + 36 = 30$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{11 π}{3}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{11 π \cos (x)}{3} + \frac{11 π}{3} \cdot 1 + 36 = 30$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{11 π}{3}$ mit $1$ .

$\frac{11 π \cos (x)}{3} + \frac{11 π}{3} + 36 = 30$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $\cos (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{11 π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{11 π \cos (x)}{3} + 36 = 30 - \frac{11 π}{3}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{11 π \cos (x)}{3} = 30 - \frac{11 π}{3} - 36$

Schritt 3.3

Subtrahiere $36$ von $30$ .

$\frac{11 π \cos (x)}{3} = - 6 - \frac{11 π}{3}$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{11 π}$ .

$\frac{3}{11 π} \cdot \frac{11 π \cos (x)}{3} = \frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$

Schritt 5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $\frac{3}{11 π} \cdot \frac{11 π \cos (x)}{3}$ .

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Schritt 5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{11 π} \cdot \frac{11 π \cos (x)}{3} = \frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$

Schritt 5.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{11 π} (11 π \cos (x)) = \frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$

Schritt 5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11 π$ .

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Schritt 5.1.1.2.1

Faktorisiere $11 π$ aus $11 π \cos (x)$ heraus.

$\frac{1}{11 π} (11 π \cos (x)) = \frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$

Schritt 5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{11 π} (11 π \cos (x)) = \frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$

Schritt 5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{3}{11 π} (- 6 - \frac{11 π}{3})$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) = \frac{3}{11 π} \cdot - 6 + \frac{3}{11 π} (- \frac{11 π}{3})$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere $\frac{3}{11 π} \cdot - 6$ .

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Schritt 5.2.1.2.1

Kombiniere $\frac{3}{11 π}$ und $- 6$ .

$\cos (x) = \frac{3 \cdot - 6}{11 π} + \frac{3}{11 π} (- \frac{11 π}{3})$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} + \frac{3}{11 π} (- \frac{11 π}{3})$

Schritt 5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{11 π}{3}$ in den Zähler.

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} + \frac{3}{11 π} \cdot \frac{- 11 π}{3}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} + \frac{3}{11 π} \cdot \frac{- 11 π}{3}$

Schritt 5.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} + \frac{1}{11 π} (- 11 π)$

Schritt 5.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11 π$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Faktorisiere $11 π$ aus $- 11 π$ heraus.

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} + \frac{1}{11 π} (11 π (- 1))$

Schritt 5.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} + \frac{1}{11 π} (11 π \cdot - 1)$

Schritt 5.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (x) = \frac{- 18}{11 π} - 1$

Schritt 5.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (x) = - \frac{18}{11 π} - 1$

Schritt 6

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{18}{11 π} - 1)$

Schritt 7

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \arccos (- \frac{18}{11 π} - 1)$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \arccos (- \frac{18}{11 π} - 1) + 2 π n, 2 π - \arccos (- \frac{18}{11 π} - 1) + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$