Trigonometrie Beispiele

$3 \tan (x) \cos (x) = - \sqrt{3} \cos (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1

Füge Klammern hinzu.

$3 (\tan (x) \cos (x)) = - \sqrt{3} \cos (x)$

Schritt 1.1.2

Schreibe $3 \tan (x) \cos (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$3 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) = - \sqrt{3} \cos (x)$

Schritt 1.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$3 \sin (x) = - \sqrt{3} \cos (x)$

Schritt 2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{3 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Separiere Brüche.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{3}{1} \cdot \tan (x) = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \tan (x) = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \tan (x) = \frac{- \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 6.2

Dividiere $- \sqrt{3}$ durch $1$ .

$3 \tan (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $3 \tan (x) = - \sqrt{3}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \tan (x) = - \sqrt{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 \tan (x)}{3} = \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \tan (x)}{3} = \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 8

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 9

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.1

Der genau Wert von $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Schritt 10

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Schritt 11.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{6}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 12

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 12.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 12.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 12.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 13

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 13.1

Addiere $π$ zu $- \frac{π}{6}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{6} + π$

Schritt 13.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 13.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.3.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 13.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 13.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 13.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Schritt 13.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 14

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{5 π}{6} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$