Trigonometrie Beispiele

$4 \sin^{4} (x) = 1 - 2 \cos (2 \cdot x) + \cos^{2} (2 \cdot x)$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin^{4} (x) - 1 = - 2 \cos (2 \cdot x) + \cos^{2} (2 \cdot x)$

Schritt 1.2

Addiere $2 \cos (2 \cdot x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin^{4} (x) - 1 + 2 \cos (2 \cdot x) = \cos^{2} (2 \cdot x)$

Schritt 1.3

Subtrahiere $\cos^{2} (2 \cdot x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin^{4} (x) - 1 + 2 \cos (2 \cdot x) - \cos^{2} (2 \cdot x) = 0$

Schritt 2

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$4 \sin^{4} (x) - 1 + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \cos^{2} (2 \cdot x) = 0$

Schritt 3

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$4 \sin^{4} (x) - 1 + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 0$

Schritt 4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 \sin^{4} (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 1$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache $4 \sin^{4} (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \sin^{4} (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 1$

Schritt 5.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 1$

Schritt 5.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - {(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} = 1$

Schritt 5.1.1.4

Schreibe ${(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$ als $(1 - 2 \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ um.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - ((1 - 2 \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Schritt 5.1.1.5

Multipliziere $(1 - 2 \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Schritt 5.1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Schritt 5.1.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Schritt 5.1.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.6.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Schritt 5.1.1.6.1.2

Mutltipliziere $- 2 \sin^{2} (x)$ mit $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Schritt 5.1.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 1$

Schritt 5.1.1.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot - 2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) = 1$

Schritt 5.1.1.6.1.5

Multipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.1.6.1.5.1

Bewege $\sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))) = 1$

Schritt 5.1.1.6.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot - 2 {\sin (x)}^{2 + 2}) = 1$

Schritt 5.1.1.6.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot - 2 \sin^{4} (x)) = 1$

Schritt 5.1.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)) = 1$

Schritt 5.1.1.6.2

Subtrahiere $2 \sin^{2} (x)$ von $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - (1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)) = 1$

Schritt 5.1.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - (- 4 \sin^{2} (x)) - (4 \sin^{4} (x)) = 1$

Schritt 5.1.1.8

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 - (- 4 \sin^{2} (x)) - (4 \sin^{4} (x)) = 1$

Schritt 5.1.1.8.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 + 4 \sin^{2} (x) - (4 \sin^{4} (x)) = 1$

Schritt 5.1.1.8.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 + 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 1$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 \sin^{4} (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) - 1 + 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x)$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Addiere $- 4 \sin^{2} (x)$ und $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 + 0 - 1 - 4 \sin^{4} (x) = 1$

Schritt 5.1.2.1.2

Addiere $4 \sin^{4} (x) + 2$ und $0$ .

$4 \sin^{4} (x) + 2 - 1 - 4 \sin^{4} (x) = 1$

Schritt 5.1.2.1.3

Subtrahiere $4 \sin^{4} (x)$ von $4 \sin^{4} (x)$ .

$0 + 2 - 1 = 1$

Schritt 5.1.2.1.4

Addiere $0$ und $2$ .

$2 - 1 = 1$

Schritt 5.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$1 = 1$

Schritt 6

Da $1 = 1$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$