Trigonometrie Beispiele

$50 = 25 \sin (\frac{2 π}{7} t) + 75$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $25 \sin (\frac{2 π}{7} t) + 75 = 50$ um.

$25 \sin (\frac{2 π}{7} t) + 75 = 50$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (\frac{2 π}{7} t)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $75$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 \sin (\frac{2 π}{7} t) = 50 - 75$

Schritt 2.2

Subtrahiere $75$ von $50$ .

$25 \sin (\frac{2 π}{7} t) = - 25$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $25 \sin (\frac{2 π}{7} t) = - 25$ durch $25$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $25 \sin (\frac{2 π}{7} t) = - 25$ durch $25$ .

$\frac{25 \sin (\frac{2 π}{7} t)}{25} = \frac{- 25}{25}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 \sin (\frac{2 π}{7} t)}{25} = \frac{- 25}{25}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{2 π}{7} t)$ durch $1$ .

$\sin (\frac{2 π}{7} t) = \frac{- 25}{25}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $- 25$ durch $25$ .

$\sin (\frac{2 π}{7} t) = - 1$

Schritt 4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{2 π}{7} t = \arcsin (- 1)$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{2 π}{7}$ und $t$ .

$\frac{2 π t}{7} = \arcsin (- 1)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 π t}{7} = - \frac{π}{2}$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{7}{2 π}$ .

$\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7} = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache $\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7}$ .

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7} = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 8.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 8.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 8.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π t$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 8.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 8.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $\frac{7}{2 π} (- \frac{π}{2})$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$t = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 8.2.1.1.2

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 8.2.1.1.3

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Schritt 8.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Schritt 8.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{7}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $\frac{- 1}{2}$ .

$t = \frac{7 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.1.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$t = \frac{- 7}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$t = \frac{- 7}{4}$

Schritt 8.2.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{7}{4}$

Schritt 9

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$\frac{2 π t}{7} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 10.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{2 π t}{7} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 10.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{2 π t}{7} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 10.3

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 10.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{7}{2 π}$ .

$\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7} = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.3.2.1.1

Vereinfache $\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7}$ .

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Schritt 10.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 10.3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{2 π} \cdot \frac{2 π t}{7} = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 10.3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 10.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 10.3.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π t$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (t)) = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 10.3.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π t) = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 10.3.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 10.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.2.2.1

Vereinfache $\frac{7}{2 π} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

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Schritt 10.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 10.3.2.2.1.1.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{3 π}{2}$

Schritt 10.3.2.2.1.1.2

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Schritt 10.3.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t = \frac{7}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Schritt 10.3.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$t = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 10.3.2.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$t = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.3.2.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 10.3.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$t = \frac{21}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.3.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$t = \frac{21}{4}$

Schritt 11

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{2 π}{7} t)$ .

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Schritt 11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.2

Ersetze $b$ durch $\frac{2 π}{7}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{7} |}$

Schritt 11.3

$\frac{2 π}{7}$ ist ungefähr $0.8975979$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{7}}$

Schritt 11.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Schritt 11.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 11.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π \frac{7}{2 π}$

Schritt 11.5.2

Forme den Ausdruck um.

$7$

Schritt 12

Addiere $7$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 12.1

Addiere $7$ zu $- \frac{7}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{7}{4} + 7$

Schritt 12.2

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$7 \cdot \frac{4}{4} - \frac{7}{4}$

Schritt 12.3

Kombiniere $7$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 \cdot 4}{4} - \frac{7}{4}$

Schritt 12.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7 \cdot 4 - 7}{4}$

Schritt 12.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{28 - 7}{4}$

Schritt 12.5.2

Subtrahiere $7$ von $28$ .

$\frac{21}{4}$

Schritt 12.6

Liste die neuen Winkel auf.

$t = \frac{21}{4}$

Schritt 13

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{2 π}{7} t)$ ist $7$ , d. h., Werte werden sich alle $7$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = \frac{21}{4} + 7 n, \frac{21}{4} + 7 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$t = \frac{21}{4} + 7 n$ , für jede ganze Zahl $n$