Trigonometrie Beispiele

$- 5 + \csc (x) = (\frac{- 15 - 2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{- 15 - 2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$- 5 + \csc (x) = \frac{- 1 (15) - 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \sqrt{3}$ heraus.

$- 5 + \csc (x) = \frac{- 1 (15) - (2 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (15) - (2 \sqrt{3})$ heraus.

$- 5 + \csc (x) = \frac{- 1 (15 + 2 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 5 + \csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\csc (x)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3} + 5$

Schritt 2.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{15 + 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\csc (x) = \frac{- (15 + 2 \sqrt{3}) + 5 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x) = \frac{- 1 \cdot 15 - (2 \sqrt{3}) + 5 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$\csc (x) = \frac{- 15 - (2 \sqrt{3}) + 5 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\csc (x) = \frac{- 15 - 2 \sqrt{3} + 5 \cdot 3}{3}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\csc (x) = \frac{- 15 - 2 \sqrt{3} + 15}{3}$

Schritt 2.5.5

Addiere $- 15$ und $15$ .

$\csc (x) = \frac{0 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.5.6

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $0$ .

$\csc (x) = \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ist $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Schritt 5

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Schritt 6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{4 π}{3}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\csc (x)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 8.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{3}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Schritt 8.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Schritt 8.4.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Schritt 8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\csc (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$