Trigonometrie Beispiele

$2 \tan^{2} (x) - 3 \tan (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 1

Ersetze $\tan (x)$ durch $u$ .

$2 {(u)}^{2} - 3 u = - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u^{2} - 3 u + \frac{1}{2} = 0$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 3 u) + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 u^{2} + 2 (- 3 u) + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$4 u^{2} - 6 u + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 u^{2} - 6 u + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 u^{2} - 6 u + 1 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 6$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $16$ von $36$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}, \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

Schritt 8

Ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}, \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

Schritt 9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$

$\tan (x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

Schritt 10

Löse in $\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{4})$

Schritt 10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = 0.91843818$

Schritt 10.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = (3.14159265) + 0.91843818$

Schritt 10.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.91843818$

Schritt 10.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.91843818$

Schritt 10.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.91843818$ .

$x = 4.06003084$

Schritt 10.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 10.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 10.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.91843818 + π n, 4.06003084 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Löse in $\tan (x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{4})$

Schritt 11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.1

Berechne $\arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = 0.18871053$

Schritt 11.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = (3.14159265) + 0.18871053$

Schritt 11.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.18871053$

Schritt 11.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.18871053$

Schritt 11.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.18871053$ .

$x = 3.33030318$

Schritt 11.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 11.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 11.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.18871053 + π n, 3.33030318 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.91843818 + π n, 4.06003084 + π n, 0.18871053 + π n, 3.33030318 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 13.1

Führe $0.91843818 + π n$ und $4.06003084 + π n$ zu $0.91843818 + π n$ zusammen.

$x = 0.91843818 + π n, 0.18871053 + π n, 3.33030318 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13.2

Führe $0.18871053 + π n$ und $3.33030318 + π n$ zu $0.18871053 + π n$ zusammen.

$x = 0.91843818 + π n, 0.18871053 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$