Trigonometrie Beispiele

$2 \cos^{2} (x) - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\cos^{2} (x)$ durch $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{2}{4}}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 2}{4}}$

Schritt 4.4

Schreibe $\sqrt{\frac{\sqrt{2} + 2}{4}}$ als $\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{\sqrt{4}}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{\sqrt{4}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 4.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}, - \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}$

Schritt 6

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}$

Schritt 7

Löse in $\cos (x) = \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\arccos (\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2})$ .

$x = \frac{π}{8}$

Schritt 7.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{8}$

Schritt 7.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{8}$ .

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Schritt 7.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Schritt 7.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Schritt 7.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 8 - π}{8}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{16 π - π}{8}$

Schritt 7.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $16 π$ .

$x = \frac{15 π}{8}$

Schritt 7.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 7.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{8} + 2 π n, \frac{15 π}{8} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Löse in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\arccos (- \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2})$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Schritt 8.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{7 π}{8}$

Schritt 8.4

Vereinfache $2 π - \frac{7 π}{8}$ .

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Schritt 8.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{8}{8} - \frac{7 π}{8}$

Schritt 8.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 8}{8} - \frac{7 π}{8}$

Schritt 8.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 8 - 7 π}{8}$

Schritt 8.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{16 π - 7 π}{8}$

Schritt 8.4.3.2

Subtrahiere $7 π$ von $16 π$ .

$x = \frac{9 π}{8}$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{8} + 2 π n, \frac{9 π}{8} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{8} + 2 π n, \frac{15 π}{8} + 2 π n, \frac{7 π}{8} + 2 π n, \frac{9 π}{8} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 10.1

Führe $\frac{π}{8} + 2 π n$ und $\frac{9 π}{8} + 2 π n$ zu $\frac{π}{8} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{15 π}{8} + 2 π n, \frac{7 π}{8} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.2

Führe $\frac{15 π}{8} + 2 π n$ und $\frac{7 π}{8} + 2 π n$ zu $\frac{7 π}{8} + π n$ zusammen.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$