Trigonometrie Beispiele

$- 2 x^{6} + 4 x^{5} + 8 x^{4} - 16 x^{3} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $- 2 x^{6} + 4 x^{5} + 8 x^{4} - 16 x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $- 2 x^{6}$ heraus.

$2 x^{3} (- x^{3}) + 4 x^{5} + 8 x^{4} - 16 x^{3} = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $4 x^{5}$ heraus.

$2 x^{3} (- x^{3}) + 2 x^{3} (2 x^{2}) + 8 x^{4} - 16 x^{3} = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $8 x^{4}$ heraus.

$2 x^{3} (- x^{3}) + 2 x^{3} (2 x^{2}) + 2 x^{3} (4 x) - 16 x^{3} = 0$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $- 16 x^{3}$ heraus.

$2 x^{3} (- x^{3}) + 2 x^{3} (2 x^{2}) + 2 x^{3} (4 x) + 2 x^{3} (- 8) = 0$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $2 x^{3} (- x^{3}) + 2 x^{3} (2 x^{2})$ heraus.

$2 x^{3} (- x^{3} + 2 x^{2}) + 2 x^{3} (4 x) + 2 x^{3} (- 8) = 0$

Schritt 1.1.6

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $2 x^{3} (- x^{3} + 2 x^{2}) + 2 x^{3} (4 x)$ heraus.

$2 x^{3} (- x^{3} + 2 x^{2} + 4 x) + 2 x^{3} (- 8) = 0$

Schritt 1.1.7

Faktorisiere $2 x^{3}$ aus $2 x^{3} (- x^{3} + 2 x^{2} + 4 x) + 2 x^{3} (- 8)$ heraus.

$2 x^{3} (- x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 8) = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 x^{3} ((- x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x - 8) = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x^{3} (x^{2} (- x + 2) - 4 (- x + 2)) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$2 x^{3} ((- x + 2) (x^{2} - 4)) = 0$

Schritt 1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 x^{3} ((- x + 2) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$2 x^{3} ((- x + 2) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Schritt 1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x^{3} ((- x + 2) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.6

Faktorisiere.

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Schritt 1.6.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.6.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$2 x^{3} ((- (x) + 2) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.6.1.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$2 x^{3} ((- (x) - 1 \cdot - 2) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.6.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$2 x^{3} (- (x - 2) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.6.1.4

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$2 x^{3} (- 1 (x - 2) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.6.1.5

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$2 x^{3} (- 1 ((x - 2) (x - 2)) (x + 2)) = 0$

Schritt 1.6.1.6

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$2 x^{3} (- 1 ((x - 2) (x - 2)) (x + 2)) = 0$

Schritt 1.6.1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{3} (- 1 {(x - 2)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

Schritt 1.6.1.8

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x^{3} (- 1 {(x - 2)}^{2} (x + 2)) = 0$

Schritt 1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x^{3} \cdot (- 1 {(x - 2)}^{2} (x + 2)) = 0$

Schritt 1.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- (2 x^{3} {(x - 2)}^{2} (x + 2)) = 0$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (x^{3} {(x - 2)}^{2} (x + 2)) = 0$

Schritt 1.8

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 x^{3} {(x - 2)}^{2} (x + 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 4

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 x^{3} {(x - 2)}^{2} (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, - 2$