Trigonometrie Beispiele

$20 + \ln (5) = 2 \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $2 \ln (x) = 20 + \ln (5)$ um.

$2 \ln (x) = 20 + \ln (5)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (x) - \ln (5) = 20$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $2 \ln (x) - \ln (5)$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x^{2}) - \ln (5) = 20$

Schritt 3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{5}) = 20$

Schritt 4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{x^{2}}{5})} = e^{20}$

Schritt 5

Schreibe $\ln (\frac{x^{2}}{5}) = 20$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{20} = \frac{x^{2}}{5}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x^{2}}{5} = e^{20}$ um.

$\frac{x^{2}}{5} = e^{20}$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 \frac{x^{2}}{5} = 5 e^{20}$

Schritt 6.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{x^{2}}{5} = 5 e^{20}$

Schritt 6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 5 e^{20}$

Schritt 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5 e^{20}}$

Schritt 6.5

Vereinfache $\pm \sqrt{5 e^{20}}$ .

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Schritt 6.5.1

Schreibe $5 e^{20}$ als ${({(e^{5})}^{2})}^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.5.1.1

Schreibe $e^{20}$ als ${(e^{10})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5 {(e^{10})}^{2}}$

Schritt 6.5.1.2

Stelle $5$ und ${(e^{10})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(e^{10})}^{2} \cdot 5}$

Schritt 6.5.1.3

Schreibe $e^{10}$ als ${(e^{5})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{{({(e^{5})}^{2})}^{2} \cdot 5}$

Schritt 6.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm {(e^{5})}^{2} \sqrt{5}$

Schritt 6.5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{5})}^{2}$ .

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Schritt 6.5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm e^{5 \cdot 2} \sqrt{5}$

Schritt 6.5.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x = \pm e^{10} \sqrt{5}$

Schritt 6.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = e^{10} \sqrt{5}$

Schritt 6.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - e^{10} \sqrt{5}$

Schritt 6.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = e^{10} \sqrt{5}, - e^{10} \sqrt{5}$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $20 + \ln (5) = 2 \ln (x)$ nicht erfüllen.

$x = e^{10} \sqrt{5}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = e^{10} \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 49252.67482126 \dots$