Trigonometrie Beispiele

$2 \sec (x) \cos^{2} (x) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) = 0$

Schritt 1

Ersetze die $\cos^{2} (x)$ durch $1 - \sin^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$(1 - \sin^{2} (x)) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) = 0$

Schritt 2

Stelle das Polynom um.

$- \sin^{2} (x) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) + 1 = 0$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $- \sin^{2} (x) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) + 1$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1.1

Bewege $1$ .

$- \sin^{2} (x) + 1 - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) = 0$

Schritt 3.1.1.2

Stelle $- \sin^{2} (x)$ und $1$ um.

$1 - \sin^{2} (x) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) = 0$

Schritt 3.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos^{2} (x) - \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x) = 0$

Schritt 3.1.3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (x)$ heraus.

$\cos^{2} (x) - (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x) = 0$

Schritt 3.1.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\cot^{2} (x)$ heraus.

$\cos^{2} (x) - (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.1.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ heraus.

$\cos^{2} (x) - (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.1.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 3.1.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 3.1.5.2

Stelle $\cos^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$- 1 + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 3.1.5.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 3.1.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.1.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.1.5.6

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$- (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 3.1.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- \sin^{2} (x) = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin^{2} (x) = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin^{2} (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $\sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sin (x) = \pm 0$

Schritt 6.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 7

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 9

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 10

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 11

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 11.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 11.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 11.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$