Trigonometrie Beispiele

$2 \sin (3 x + 15) - 5 = - 6$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (3 x + 15)$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (3 x + 15) = - 6 + 5$

Schritt 1.2

Addiere $- 6$ und $5$ .

$2 \sin (3 x + 15) = - 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (3 x + 15) = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \sin (3 x + 15) = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \sin (3 x + 15)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (3 x + 15)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $\sin (3 x + 15)$ durch $1$ .

$\sin (3 x + 15) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (3 x + 15) = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$3 x + 15 = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{1}{2})$ ist $- \frac{π}{6}$ .

$3 x + 15 = - \frac{π}{6}$

Schritt 5

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - \frac{π}{6} - 15$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{6} - 15$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \frac{π}{6} - 15$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3} + \frac{- 15}{3}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3} + \frac{- 15}{3}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3} + \frac{- 15}{3}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- 15}{3}$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 6.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6} + \frac{- 15}{3}$

Schritt 6.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$x = - \frac{π}{18} + \frac{- 15}{3}$

Schritt 6.3.1.3

Dividiere $- 15$ durch $3$ .

$x = - \frac{π}{18} - 5$

Schritt 7

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$3 x + 15 = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x + 15 = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Schritt 8.2

Der resultierende Winkel von $\frac{7 π}{6}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$3 x + 15 = \frac{7 π}{6}$

Schritt 8.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \frac{7 π}{6} - 15$

Schritt 8.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{7 π}{6} - 15$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{7 π}{6} - 15$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3} + \frac{- 15}{3}$

Schritt 8.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3} + \frac{- 15}{3}$

Schritt 8.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3} + \frac{- 15}{3}$

Schritt 8.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- 15}{3}$

Schritt 8.3.2.3.1.2

Multipliziere $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 8.3.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{6}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3} + \frac{- 15}{3}$

Schritt 8.3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{- 15}{3}$

Schritt 8.3.2.3.1.3

Dividiere $- 15$ durch $3$ .

$x = \frac{7 π}{18} - 5$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\sin (3 x + 15)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 10

Addiere $\frac{2 π}{3}$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 10.1

Addiere $\frac{2 π}{3}$ zu $- \frac{π}{18} - 5$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{18} - 5 + \frac{2 π}{3}$

Schritt 10.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18} - 5$

Schritt 10.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18} - 5$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18} - 5$

Schritt 10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18} - 5$

Schritt 10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12 π - π}{18} - 5$

Schritt 10.5.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$\frac{11 π}{18} - 5$

Schritt 10.6

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{11 π}{18} - 5$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\sin (3 x + 15)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{7 π}{18} - 5 + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} - 5 + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$