Trigonometrie Beispiele

$\csc (\frac{3 π}{4}) = \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\sin (x) = \csc (\frac{3 π}{4})$ um.

$\sin (x) = \csc (\frac{3 π}{4})$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck mit Hilfe der $h a l f - a n g l e$ -Formel.

$\pm \sqrt{1 - \frac{\cos (2 x)}{2}} = \csc (\frac{3 π}{4})$

Schritt 3

Eliminiere das $\pm$ auf beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{1 - \frac{\cos (2 x)}{2}} = \csc (\frac{3 π}{4})$

Schritt 4

Da die Quadratwurzeln jedes Ausdrucks gleich sind, müssen die Ausdrücke unter den Wurzelzeichen ebenfalls gleich sein.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \csc (\frac{3 π}{4})$

Schritt 5

Vereinfache $\csc (\frac{3 π}{4})$ .

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Schritt 5.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \csc (\frac{π}{4})$

Schritt 5.2

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{4})$ ist $\sqrt{2}$ .

$1 - \frac{\cos (2 x)}{2} = \sqrt{2}$

Schritt 6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} = \sqrt{2} - 1$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{\cos (2 x)}{2}) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Schritt 8

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{\cos (2 x)}{2})$ .

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Schritt 8.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\cos (2 x)}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Schritt 8.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Schritt 8.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \cos (2 x)}{2} = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Schritt 8.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Schritt 8.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 8.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Schritt 8.1.1.2.2

Mutltipliziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\cos (2 x) = - 2 (\sqrt{2} - 1)$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $- 2 (\sqrt{2} - 1)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (2 x) = - 2 \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\cos (2 x) = - 2 \sqrt{2} + 2$

Schritt 9

Wandle die rechte Seite der Gleichung in ihr dezimales Äquivalent um.

$\cos (2 x) = - 0.82842712$

Schritt 10

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$2 x = \arccos (- 0.82842712)$

Schritt 11

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.1

Berechne $\arccos (- 0.82842712)$ .

$2 x = 2.54708993$

Schritt 12

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2.54708993$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 12.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2.54708993$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.54708993}{2}$

Schritt 12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.54708993}{2}$

Schritt 12.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2.54708993}{2}$

Schritt 12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.3.1

Dividiere $2.54708993$ durch $2$ .

$x = 1.27354496$

Schritt 13

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$2 x = 2 (3.14159265) - 2.54708993$

Schritt 14

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Vereinfache.

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Schritt 14.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$2 x = 6.2831853 - 2.54708993$

Schritt 14.1.2

Subtrahiere $2.54708993$ von $6.2831853$ .

$2 x = 3.73609537$

Schritt 14.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3.73609537$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 14.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3.73609537$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3.73609537}{2}$

Schritt 14.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3.73609537}{2}$

Schritt 14.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3.73609537}{2}$

Schritt 14.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.3.1

Dividiere $3.73609537$ durch $2$ .

$x = 1.86804768$

Schritt 15

Ermittele die Periode von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 15.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 15.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 15.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 15.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 15.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 16

Die Periode der Funktion $\cos (2 x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.27354496 + π n, 1.86804768 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 17

Schließe die Lösungen aus, die $\csc (\frac{3 π}{4}) = \sin (x)$ nicht erfüllen.

Keine Lösung