Trigonometrie Beispiele

$13 = 3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) + 12$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) + 12 = 13$ um.

$3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) + 12 = 13$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $\sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79))$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) = 13 - 12$

Schritt 2.2

Subtrahiere $12$ von $13$ .

$3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) = 1$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79))}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79))}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79))$ durch $1$ .

$\sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)) = \frac{1}{3}$

Schritt 4

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79) = \arcsin (\frac{1}{3})$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79)$ .

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 π}{365} x + \frac{2 π}{365} \cdot - 79 = \arcsin (\frac{1}{3})$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $\frac{2 π}{365}$ und $x$ .

$\frac{2 π x}{365} + \frac{2 π}{365} \cdot - 79 = \arcsin (\frac{1}{3})$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $\frac{2 π}{365} \cdot - 79$ .

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Schritt 5.1.3.1

Kombiniere $\frac{2 π}{365}$ und $- 79$ .

$\frac{2 π x}{365} + \frac{2 π \cdot - 79}{365} = \arcsin (\frac{1}{3})$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $- 79$ mit $2$ .

$\frac{2 π x}{365} + \frac{- 158 π}{365} = \arcsin (\frac{1}{3})$

Schritt 5.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 π x}{365} - \frac{158 π}{365} = \arcsin (\frac{1}{3})$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Berechne $\arcsin (\frac{1}{3})$ .

$\frac{2 π x}{365} - \frac{158 π}{365} = 0.3398369$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Addiere $\frac{158 π}{365}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 π x}{365} = 0.3398369 + \frac{158 π}{365}$

Schritt 7.2

Addiere $0.3398369$ und $\frac{158 π}{365}$ .

$\frac{2 π x}{365} = 1.6997592$

Schritt 8

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$

Schritt 9

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 9.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365}$ .

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Schritt 9.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $365$ .

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Schritt 9.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$

Schritt 9.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$

Schritt 9.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 9.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π x$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$

Schritt 9.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$

Schritt 9.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$ .

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Schritt 9.2.1.1

Multipliziere $\frac{365}{2 π} \cdot 1.6997592$ .

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Schritt 9.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{365}{2 π}$ und $1.6997592$ .

$x = \frac{365 \cdot 1.6997592}{2 π}$

Schritt 9.2.1.1.2

Mutltipliziere $365$ mit $1.6997592$ .

$x = \frac{620.41211121}{2 π}$

Schritt 9.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$x = \frac{620.41211121}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = \frac{620.41211121}{6.2831853}$

Schritt 9.2.1.4

Dividiere $620.41211121$ durch $6.2831853$ .

$x = 98.74165425$

Schritt 10

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{2 π x}{365} - \frac{158 π}{365} = (3.14159265) - 0.3398369$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Subtrahiere $0.3398369$ von $3.14159265$ .

$\frac{2 π x}{365} - \frac{158 π}{365} = 2.80175574$

Schritt 11.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 11.2.1

Addiere $\frac{158 π}{365}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 π x}{365} = 2.80175574 + \frac{158 π}{365}$

Schritt 11.2.2

Addiere $2.80175574$ und $\frac{158 π}{365}$ .

$\frac{2 π x}{365} = 4.16167804$

Schritt 11.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{365}{2 π}$ .

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$

Schritt 11.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 11.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.4.1.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365}$ .

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Schritt 11.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $365$ .

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Schritt 11.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{365}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{365} = \frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$

Schritt 11.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$

Schritt 11.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 11.4.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π x$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$

Schritt 11.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$

Schritt 11.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$

Schritt 11.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.4.2.1

Vereinfache $\frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$ .

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Schritt 11.4.2.1.1

Multipliziere $\frac{365}{2 π} \cdot 4.16167804$ .

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Schritt 11.4.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{365}{2 π}$ und $4.16167804$ .

$x = \frac{365 \cdot 4.16167804}{2 π}$

Schritt 11.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $365$ mit $4.16167804$ .

$x = \frac{1519.01248587}{2 π}$

Schritt 11.4.2.1.2

Ersetze $π$ durch eine Näherung.

$x = \frac{1519.01248587}{2 \cdot 3.14159265}$

Schritt 11.4.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = \frac{1519.01248587}{6.2831853}$

Schritt 11.4.2.1.4

Dividiere $1519.01248587$ durch $6.2831853$ .

$x = 241.75834574$

Schritt 12

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79))$ .

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Schritt 12.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.2

Ersetze $b$ durch $\frac{2 π}{365}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{365} |}$

Schritt 12.3

$\frac{2 π}{365}$ ist ungefähr $0.0172142$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{365}}$

Schritt 12.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Schritt 12.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 12.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 π \frac{365}{2 π}$

Schritt 12.5.2

Forme den Ausdruck um.

$365$

Schritt 13

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{2 π}{365} \cdot (x - 79))$ ist $365$ , d. h., Werte werden sich alle $365$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 98.74165425 + 365 n, 241.75834574 + 365 n$ , für jede ganze Zahl $n$